Por qué el ángulo $\alpha$ en ambos triángulos debe ser el mismo?

Question

He conseguido entender la demostración de la fórmula de la suma de cosenos, pero hay un detalle que no he podido descubrir: En la siguiente imagen, ¿Por qué el ángulo $\alpha$ en ambos triángulos debe ser el mismo? Intenté pensar en ángulos correspondientes aplicado a varias partes de esta imagen, pero no obtuve ningún éxito.

Answer 1

O R P N están en un círculo, por lo que el ángulo RON y el ángulo RPN son iguales.

Answer 2

Tenga en cuenta que $QN || OM$ . Por lo tanto, usted tiene que los ángulos alternativos $QNO$ y $NOM$ son iguales y por lo tanto $QNO$ es igual a $\alpha$ . Ahora de nuevo tenemos que $PN \perp ON$ . Así que tenemos ese ángulo $PNQ = 90^\circ-\alpha$ . En el triángulo rectángulo $PQN$ , ángulo $PQN=90^\circ$ y el ángulo $PNQ = 90^\circ-\alpha$ . Como la suma de todos los ángulos de un triángulo es $180^\circ$ , ángulo $NPR=180^\circ-(90^\circ+90^\circ-\alpha)=\alpha$ .

Espero que esto ayude.

Answer 3

Que el ángulo OPN sea $x+\alpha$ . Está claro que ONP es un ángulo recto.

Entonces- $$\begin{equation} \beta=180-90-x-\alpha=90-x-\alpha \end{equation}$$

$$\begin{equation} x=90-\beta-\alpha \end{equation}$$

Tomemos ahora el triángulo OPR y dejemos que el ángulo MON sea $y$ .

Entonces- $$\begin{equation} \beta+y=180-90-x=90-x \end{equation}$$

$$\begin{equation} \beta+y=90-(90-\beta-\alpha) \end{equation}$$

$$\begin{equation} \beta+y=\beta+\alpha \end{equation}$$

$$\begin{equation} y=\alpha \end{equation}$$

Answer 4

Las piernas de $RPN$ y $NOM$ son pairelamente perpendiculares. Por tanto, los ángulos correspondientes son iguales.

Answer 5

Nota:La intersección de $PR$ y $ON$ se denominará $A$ .
$OM \bot PR$ y $ON \bot PN$ y $<OAR \cong <QAN$ Así que $\Delta OAR \sim \Delta PAN$ a través de la similitud de ángulos. Los ángulos correspondientes de los triángulos semejantes son congruentes, por lo que $<ROA \cong <NPA$ .