¿Cuántas variables de la expansión multinomial tienen un exponente diferente de 2?

Question

Multinominal: $(a + b + c + d)^{10}$

Pregunta: ¿Cuántas variables de la expansión multinomial tienen un exponente diferente de 2?

Quiero resolverlo utilizando funciones generadoras.

Así que podemos escribir: $t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 10$ Cuando $t_i$ no puede utilizar $x^2$ .

Eso equivale a la función generadora: $$ (1+x+x^3+x^4...)^4 = (1+x+\frac{x^3}{1-x})^4 $$ ¿Pero ahora qué? ¿Cómo puedo seguir gastando esto hasta encontrar el coeficiente de $x^{10}$ ?

Answer 1

$(1 + x + x^3 + x^4 + ...)$ puede simplificarse como $[(1 - x)^{-1} - x^2]$ .

Ahora, teníamos que encontrar el coeficiente de $x^{10}$ en ${[(1 - x)^{-1} - x^2]}^4$

${[(1 - x)^{-1} - x^2]}^4$ = $\binom{4}{0}$ $[({1 - x}) ^ {-4}]$ - $\binom{4}{1}$ $[({1 - x}) ^ {-3}]$ $x^2$ + $\binom{4}{2}$ $[({1 - x}) ^ {-2}]$ $x^4$ - $\binom{4}{3}$ $[({1 - x}) ^ {-1}]$ $x^6$ + $\binom{4}{4}$ $x^8$

Por lo tanto, la respuesta será $\binom{13}{3}$ - 4 $\binom{10}{2}$ + 6 $\binom{7}{1}$ - 4 $\binom{4}{0}$ es decir, 144

Answer 2

Puede reescribir $$(1+x+x^3+x^4...)^4=(1+x)^4(1+x^3+x^5+x^7+...)^4$$

$$=(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)(1+x^3+x^5+x^7+x^9+...)^4$$

Ahora mira primero el $x^4$ término: la única forma de sumar exponente hasta $10$ es $4+3+3=10$ Por lo tanto, tenemos ${4\choose 2}=6$ formas.

Siguiente mirada a $4x^3$ plazo, la única manera es $3+7=10$ Por lo tanto, tenemos $4{4\choose 1}=16$ formas.

Siguiente mirada a $6x^2$ plazo, la única manera es $2+3+5=10$ Por lo tanto $6{4\choose 1}{3\choose 1}=72$ formas.

Siguiente mirada a $4x$ término, tenemos $1+9=1+3+3+3=10$ Por lo tanto $4({4\choose 1}+{4\choose 3})=32$ formas.

Siguiente mirada a $1$ término, tenemos $0+3+7=0+5+5=10$ Por lo tanto ${4\choose1}{3\choose1}+{4\choose 2}=18$ formas.

Finalmente, súmalos todos, $6+16+72+32+18=144$ formas.