¿"Hoteles de análisis no estándar" se lleve a cabo en un topos?

Question

Terence Tao hoteles de Una versión no estándar de análisis se describe una forma de hacer análisis a medio camino entre ordinario y análisis no estándar de análisis que, si no me equivoco, se retira a trabajar en la siguiente categoría $C$ en vez de $\text{Set}$. Para construir $C$, inicio con la categoría de $\text{Set}^{\mathbb{N}}$. Un objeto de esta categoría es una secuencia de $X_i$ de conjuntos indexados por los números naturales. Decir que dos secuencias de $x_i, x_i' \en X_i$ de los elementos de los conjuntos $X_i$ son , finalmente, la igualdad, escrito $x \sim x'$, si $x_n = x_n'$ para suficientemente grande $n$. Los objetos de la categoría $C$ son los mismos que los de la $\text{Set}^{\mathbb{N}}$, pero los morfismos son clases de equivalencia de funciones $f_i : X_i \a Y_i$ que si $x \sim x'$ entonces $f(x) \sim f(x')$ en el sentido de que $f_n(x_n) = f_n(x_n')$ para suficientemente grande $n$. La relación de equivalencia de funciones es también una eventual igualdad.

Pregunta: Es de $C$ a topos?

Lo que realmente quiero saber es si la construcción es un caso especial de una forma más general de construcción que se conoce a la salida de topoi.

Answer 1

Deje que $\mathcal{S} = \mathbf{Set}^{\mathbb{N}}$. Observe que el álgebra de Heyting de subobjetos de $1$ en $\mathcal{S}$ es isomorfo a la powerset $\mathscr{P}(\mathbb{N})$, por lo que el filtro de Fréchet $\Phi$ de todos los cofinite subconjuntos de $\mathbb{N}$ también puede ser considerado como un filtro de subobjetos de $1$ en $\mathcal{S}$.

Ahora voy a describir el filtro cociente de la construcción de un medicamento genérico primaria topos de $\mathcal{S}$ y filtro $\Phi$ de subobjetos de $1$ en $\mathcal{S}$. Dado cualquier subobjeto $U \rightarrowtail 1$, se puede considerar que la categoría de $\mathcal{S}_U$ cuyos objetos son los de $\mathcal{S}$, pero cuyos morfismos $X \a Y$ son morfismos $X \times U \a Y$ en $\mathcal{S}$. (Este es el Kleisli categoría de la comonad ${-} \times U$.) Tenga en cuenta que $\mathcal{S}_U$ es equivalente a la división de la categoría de $\mathcal{S}_{/ U}$ y por lo tanto es un elemental de topos. (Aquí es donde utilizamos el supuesto de que $U$ es subterminal.)

Podemos hacer la asignación de $U \mapsto \mathcal{S}_U$ en un estricto functor $\mathrm{Sub}(1)^\mathrm{op} \\mathbf{Cat}$: dado $U \le V$, la inducida por el functor de $\mathcal{S}_V \a \mathcal{S}_U$ es la identidad en objetos y se define en morfismos tirando hacia atrás en $U \hookrightarrow V$. Estos functors $\mathcal{S}_V \a \mathcal{S}_U$ son lógicos functors, es decir, preservar límites finitos y objetos de poder. Restringir el diagrama de $\Phi$, podemos formar el filtrado colimit $\mathcal{S}_{\Phi} = {\varinjlim}_{\Phi^\mathrm{op}} \mathcal{S}_{\bullet}$ en $\mathbf{Cat}$. El teorema es que $\mathcal{S}_{\Phi}$ es un elemental de topos, y el cocone componentes de $\mathcal{S}_U \a \mathcal{S}_{\Phi}$ son todos lógico.

Entonces, ¿qué significa esto en tu ejemplo? Así, dado un subconjunto $U \subseteq \mathbb{N}$, el topos de $\mathcal{S}_U$ es equivalente a $\mathbf{Set}^U$, y por $U \subseteq V$, la inducida por el functor de $\mathcal{S}_V \a \mathcal{S}_U$ puede ser identificado con el obvio functor $\mathbf{Set}^V \a \mathbf{Set}^U$ obtenidos en el olvido de los componentes. Por lo tanto, el filtro-cociente (o filtro de potencia) $\mathcal{S}_{\Phi}$ tiene como objetos de clases de equivalencia de (parcial) de las secuencias de conjuntos en "eventual" igualdad " y morfismos son equivalencias de clases (parcial) de las secuencias de mapas en "eventual igualdad". Esto puede verse fácilmente a ser el equivalente a la construcción de describir.

El filtro cociente de la construcción no necesariamente de preservar la propiedad de ser un topos de Grothendieck. De hecho, Adelman y Johnstone [1982] han demostrado que un filtro de potencia de un topos de Grothendieck es de nuevo un topos de Grothendieck si y sólo si el filtro es la directora. En cierto sentido, esto no es sorprendente: Grothendieck toposes se define en relación a un conjunto teórico universo (o, si se quiere, una "base topos"), pero el filtro cociente de la construcción es similar a la de forzar, que cambia el conjunto teórico universo.