Planicidad y desaparición de los grupos Tor para un módulo no generado infinitamente

Question

Esto es algo que probablemente debería saber, pero se me escapa en este momento.

Dejemos que $A$ sea un anillo noetheriano conmutativo. El siguiente corolario del lema de Nakayama es bien conocido (por ejemplo, se trata de los ejercicios 7.15 y 7.16 de Atiyah-Macdonald)

Si $M$ es una entidad finitamente generada $A$ -módulo entonces $M$ es plana si y sólo si $\operatorname{Tor}_j^A(M,k(\mathfrak{p})) = (0)$ para todos los ideales primos $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(A)$ y $j\geq 1$ .

Aquí, $k(\mathfrak{p}) = A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ es el campo de residuos en el punto $\mathfrak{p}$ de $\operatorname{Spec}(A)$ . Mi pregunta es la siguiente:

¿Es lo mismo si no suponemos que $M$ está generada finitamente?

Nótese que en la situación noetheriana, plano y localmente libre son lo mismo. Sé que mi pregunta no es cierta si sustituimos el enunciado plano por el localmente libre porque, por ejemplo, $\mathbf{Q}$ es plana sobre $\mathbf{Z}$ pero no libre localmente. Estoy dispuesto a aceptar una respuesta que sólo aborde el caso en que $A$ se reduce, si es que eso importa.

Answer 1

La respuesta a su pregunta es sí.

Una pista. Considere el conjunto $\mathcal S=\{I\subset A: \exists\ i\ge 1 \text{ such that } \operatorname{Tor}_i(R/I,M)\neq 0\}$ . Si $\mathcal S$ no es vacío, demuestre que sus elementos maximales son ideales primos. Entonces escribe $k(\mathfrak p)$ como límite directo $\lim\limits_{\longrightarrow x} R/\mathfrak p$ , donde $x\in R-\mathfrak p$ y considerar la secuencia exacta corta $0\to R/\mathfrak p\to k(\mathfrak p)\to N\to 0$ . (Aquí $N$ es el módulo cociente de $k(\mathfrak p)$ por $R/\mathfrak p$ .)