¿Por qué la integral indefinida de una función escalonada es continua?

Question

Como he publicado antes, decir que tengo: \begin{equation} S(X)=\left\{ \begin{array}{@{}ll@{}} c_0, & \text{if}\ t_0 \leq x <t_1 \\ c_1, & \text{if}\ t_1 \leq x <t_2 \\ c_2, & \text{if}\ t_2 \leq x <t_3 \\ . & \ . \ \\ . & \ . \ \\ . & \ . \ \\ . & \ . \ \\ c_{n-1}, & \text{if}\ t_{n-1} \leq x \leq t_n \\\end{array} \derecha. \fin{ecuación} .

¿Por qué la integral indefinida de S(x) es lineal a trozos y continua?

Creo que entiendo por qué es lineal a trozos (con suerte, como intentaba hacer en mi último post) pero ¿por qué la integral indefinida de una función escalonada es necesariamente continua? No me queda claro por qué la integral de $S(x)$ o una función escalonada arbitraria no puede tener discontinuidades de salto. Gracias por la ayuda.

Aquí hay una imagen que indica que debe ser necesariamente continua:

Tal vez me ayudaría que alguien me ayudara a entender cómo han calculado la integral indefinida de esta función escalonada:

Esencialmente lo han hecho en esta foto:

$T(X) =1$ para $0 \leq x < 2$

$T(X) =-1$ para $2 \leq x \leq 4$ . Consiguen que la integral indefinida sea:

$x$ para $0 \leq x < 2$

$4-x$ para $2 \leq x \leq 4$ .

¿Cómo lo han calculado?

Answer 1

Dejemos que $f:[a,b] \to \mathbb R$ una función integrable de Riemann y $M:= \sup\{|f(t)|:t \in [a,b]\}$ .

Si $F(x):=\int_a^x f(t) dt$ , entonces dejemos que $x,y \in [a,b]$ .

WLOG: $x \ge y$ . Entonces tenemos $F(x)-F(y)=\int_y^x f(t) dt$ Por lo tanto

$|F(x)-F(y)|=|\int_y^x f(t) dt| \le \int_y^x |f(t)| dt \le \int_y^x M dt=M(x-y)=M|x-y|$ .

¡F es Lipschitz- continua !

Su función $S$ ¡es integrable de Riemann !

Answer 2

Toneladas de otras personas pueden explicar la verdadera matemática detrás de esto, pero creo que podría ser intuitivo para ti tratar de entender de dónde viene esta continuidad mirando por qué la derivada del triángulo continuo te está dando una función escalonada. Digamos que tenemos esta función $$ f(x) = |x| = \begin{cases} -x & x< 0 \\ x & 0\leq x \end{cases} $$

que es muy demostrable que es continua

$$ \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x) = 0 = \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x). $$

Ahora si diferenciamos la función encontramos que

$$ f'(x) = \begin{cases} -1 & x< 0 \\ 1 & 0> x \\ &x\neq 0 \end{cases} $$

que es una función escalonada. Por eso, lo contrario es cierto: las integrales de nuestras funciones escalonadas dan funciones continuas porque estamos haciendo estas ecuaciones lineales a trozos que tienen "puntos de conexión". Mientras los puntos de conexión sean los mismos, la función será continua

Answer 3

Puede calcular el valor explícitamente en cada intervalo: Si $s(x) = c_k$ para $x \in [t_k,t_{k+1})$ entonces para $x \in [t_k, t_{k+1}]$ nosotros tenemos $F(x) = F(t_k) + \int_{t_k}^x s(t) dt = F(t_k)+ (x-t_k) c_k$ .

Tenemos $F(x) = F(t_0)$ para $x \le t_0$ .

Answer 4

El "nuevo" trozo de curva no se "añade" como $x$ avanza. Para cada $x$ utilizamos las sumas de Riemann, por eso es más suave de lo esperado.