Operadores y suma de momentos angulares

Question

Considere un sistema de dos partículas con una partícula que tiene espín 1/2 y la otra espín 1.

Un estado del sistema es $||\frac{3}{2},\frac{3}{2}\rangle\rangle$ donde una doble ket significa que está en la base acoplada. Así que $S=\frac{3}{2}\text{ and } m_s=\frac{3}{2}$ . Este estado también puede escribirse en la base desacoplada como $|\frac{1}{2},1\rangle (\equiv~|\frac{1}{2},\frac{1}{2};1,1\rangle )$ .

Si quiero actuar sobre este estado con el $\hat{S^2}$ operador opero en el estado representado en la base acoplada o desacoplada? ¿Por qué y por qué no?

Answer 1

No importa de qué lado $S^2$ actos. Debería ser equivalente, ¿no? Aquí están las matemáticas. $$\hat{S}=\hat{S_1}+\hat{S_2}$$ $$\implies \hat{S^2}=\hat{S_1^2}+\hat{S_2^2}+2\hat{S_1}.\hat{S_2}$$ $$S_1=S_x^1 \hat{i}+S_y^1 \hat{j}+S_z^1 \hat{k}$$ $$S_2=S_x^2 \hat{i}+S_y^2 \hat{j}+S_z^2 \hat{k}$$ $$\hat{S_1}.\hat{S_2}=S_x^1.S_x^2+S_y^1.S_y^2+S_z^1.S_z^2$$ Aplicando esto en cualquier lado, $$S^2||\frac{3}{2},\frac{3}{2}\rangle\rangle$$ $$=\hbar^2 (\frac{3}{2}. \frac{5}{2}) ||\frac{3}{2},\frac{3}{2}\rangle\rangle$$ $$=\hbar^2 \frac{15}{4} ||\frac{3}{2},\frac{3}{2}\rangle\rangle$$ Utilizando los resultados anteriores. $$(\hat{S_1^2}+\hat{S_2^2}+2\hat{S_1}.\hat{S_2})|\frac{1}{2},\frac{1}{2};1,1\rangle$$ $$=\frac{15}{4}\hbar^2|\frac{1}{2},\frac{1}{2};1,1\rangle$$ Exactamente lo mismo. Espero que esto ayude.