¿Cómo es que $\gcd(a^n, b^n) = 1 \implies \dfrac{a^n}{b^n}\not\in\mathbb{N}$ ?

Question

No entiendo esta prueba para el caso en que $m^{1/n} \in \mathbb{Q \cap Z}^C$ .

Entonces $\exists \; a, b \in \mathbb{Z} \qquad \ni \qquad\gcd(a,b)=1 \; \text{ and } \; m^{1/n} = \dfrac{a}{b}$ .

Si $\gcd(a,b)=1$ entonces $\gcd(a^n,b^n)=1$ .

Así, $m = \dfrac{a^n}{b^n} \in \mathbb{N}$ .

Pero cómo deduzco la contradicción: $\dfrac{a^n}{b^n} \not\in \mathbb{N}$ ?

Answer 1

$\gcd(a^n, b^n) = 1$ significa $a^n$ y $b^n$ no tienen más factores comunes que 1 (o $-1$ ).

$\frac {a^n}{b^n}$ significa $b^n$ se divide uniformemente en $a^n$ y $b^n$ es un factor de $a^n$ . Así que $a^n$ y $b^n$ tienen $b^n$ como un factor en común.

La única forma posible de que estos sean ambos cierto, que $a^n$ y $b^n$ no tienen ningún factor común más que $1$ y $a^n$ y $b^n$ tienen $b^n$ como factor común es si $b^n = \pm 1$ .

Así que $b = 1$ y bueno, .... ¿y ahora qué?

Answer 2

Si $\frac {a^n}{b^n} = m$ para algunos $m \in N$ entonces $a^n = m\times b^n$ y así tienes $b^n|a^n$ . Así que, $gcd(a^n,b^n)= b^n$ una contradicción.

Answer 3

Supongamos que $|b| \neq 1$ . Supongamos además que $a^n = kb^n, k \in \mathbb{N}$ . Usando el lema de Bezout: $ra^n + sb^n = 1$ para algunos $r,s \in \mathbb{Z}\implies rkb^n+sb^n= 1\implies b^n = \pm 1\implies |b| = 1$ , en contradicción con $|b| \neq 1$ . Por lo tanto, la afirmación es la siguiente.