La conjetura de Poincaré y la forma del universo

Question

¿Ha ayudado la solución de la conjetura de Poincaré a la ciencia a averiguar la forma del universo?

Answer 1

En la teoría de la relatividad general de Einstein, el universo es un manifold de 4 dimensiones que bien podría estar fibrado por cortes de tiempo de 3 dimensiones. Si un espaciotiempo particular no tiene tal fibrado, entonces es difícil construir un modelo causal de las leyes de la física dentro de él. (Incluso si no se ve un argumento a priori para la causalidad, sin ella, es difícil construir suficientes soluciones para hacer predicciones significativas). No suele haber una fibración geométricamente distinguida, pero si tiene suficiente simetría o incluso simetría local, la simetría puede seleccionar una. Una simetría aproximada también puede ser suficiente para una fibración aproximadamente canónica. Una vez que se tiene todo eso, la topología de las rebanadas espaciales del universo no es en absoluto una cuestión ingenua o risible, al menos no hasta que se vea más física que pueda degradar la cuestión. La cuestión más estrecha de si la Conjetura de Poincaré es relevante es más ilusoria y podría llamarse ingenua, pero tomemos la cuestión de relacionar la topología de los 3-manifoldes en general con la cosmología.

El fondo cósmico de microondas descubierto en 1964 por Penzias y Wilson, muestra que el universo es casi isotrópico en nuestra ubicación. (La desviación es del orden $10^{-5}$ y sólo se anunció en 1992 después de 2 años de datos del Telescopio COBE .) Si se acepta el principio copernicano de que la Tierra no está en un punto especial del espacio, significa que hay una fibración aproximadamente canónica por cortes de tiempo, y que el universo, al menos aproximadamente y localmente, tiene una de las tres geometrías isotrópicas de Thurston, $E^3$ , $S^3$ o $H^3$ . El resultado de Penzias-Wilson hace que sea una muy buena cuestión preguntar si el universo es un 3-manifold con alguna geometría isotrópica y algún grupo fundamental. He oído que la primera discusión sobre esta cuestión era tan ingenua que algunos astrónomos sólo hablaban de un 3-toro. Pensaron que si había otras opciones desde la topología, podrían pensar en ellas más tarde. ¡Fíjate que ya la conjetura de Poincaré habría sido más relevante para la cosmología si hubiera sido falsa!

El topólogo que más ha trabajado en esta cuestión es Jeff Weeks. Es coautor de un respetado papel en la cosmología y escribió un interesante artículo en la revista AMS Notices que promovió el espacio dodecaédrico de Poincaré como una posible topología para el universo. Pero después de escribir ese artículo...

Efectivamente, hay otra física que sí degrada la cuestión de los 3 manificios, y es cosmología inflacionaria . La teoría de la inflación postula que la teoría cuántica de campos verdadera tiene una fase de alta energía vagamente estable, que tiene una densidad de energía tan alta que la solución de las ecuaciones de la RG parece completamente diferente. En la solución inflacionaria, las regiones calientes del universo se expanden por un factor de $e$ en algo así como $10^{-36}$ segundos. Las diferentes variaciones del modelo plantean desde 60 hasta miles de factores de $e$ o " $e$ -pliegues". Las parcelas del universo caliente también se enfrían, incluida la que habitamos. De hecho, todas las manchas se enfrían constantemente, pero el enfriamiento sigue siendo superado por la expansión. En lugar de aceptar tácitamente ciertas características observadas del universo visible, por ejemplo que es aproximadamente isotrópico, la inflación las explica. También predice que el universo visible es aproximadamente plano y no se repite, porque la curvatura macroscópica y la topología se han estirado hasta el olvido, y que las anisotropías observables son estrías de la expansión. Las estrías tendrían ciertas estadísticas características para ajustarse a la inflación. Por otro lado, en la sopa caliente inflacionaria que nunca veríamos directamente, la razón de ser de los cortes de tiempo canónicos desaparece, y el universo sería alguna 4-manifold o incluso alguna generalización fractal o cuántica de una 4-manifold.

El número de $e$ -folds no se conoce e incluso el campo inflatón (el sector de la teoría cuántica de campos que gobernaba la inflación) no se conoce, pero la mayoría o todos los modelos de inflación predicen las mismas características básicas. Y las noticias del sucesor de COBE, llamado WMAP , es que el universo visible es plano hasta un 2% más o menos, y la anistropía coincide estadísticamente con las estrías. No hay suficiente para distinguir la mayoría de los modelos de inflación. No hay suficiente para establecer la inflación en el mismo sentido que se establece la teoría de los gérmenes de la enfermedad o la teoría heliocéntrica. Lo que sí es cierto es que la inflación ha hecho predicciones experimentales que se han confirmado.

Después de todas estas noticias, la vieja idea de que el universo es una 3manifold visiblemente periódica se considera una posibilidad remota. El WMAP no vio ninguna periodicidad obvia, aunque Weeks et al fueron optimistas basándose en su primer año de datos. Pero un cosmólogo me dijo que la periodicidad debe tomarse en serio como modelo cosmológico alternativo, aunque sea como abogado del diablo. Una teoría es una ciencia incompleta si es difícil de probar y si todas las alternativas son rechazadas. Al argumentar a favor de la inflación, los cosmólogos también querrían tener algo contra lo que argumentar. En opinión del cosmólogo con el que hablé hace unos años, el modelo de un manifold de tres dimensiones con un grupo fundamental, desarrollado por Weeks et al, es tan bueno para eso como cualquier propuesta.

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José hace la importante observación de que, al probar si el universo tiene un grupo fundamental visible, no se buscaría necesariamente la periodicidad directa representada por geodésicas no contratables. En su lugar, se podría utilizar el análisis armónico, utilizando un operador de Laplace disponible adecuado, y esto es lo que utilizaron Luminet, Weeks, Riazuelo, Lehoucq y Uzan. Yo también que no he oído hablar de ningún uso directo de la homotopía de trayectorias en astronomía, pero en realidad la geometría directa de las geodésicas juega a veces un papel importante. Por ejemplo, fíjese bien en esta fotografía del cúmulo de galaxias Abell 1689 . Se puede ver que hay una fuerte lente gravitacional justo a la izquierda del centro, entre el telescopio y las galaxias más tenues y astilladas. Quizás ningún análisis del fondo cósmico de microondas sería sólo geométrico, pero la geometría modificaría la textura aparente del fondo, y creo que eso es parte del argumento de los datos de que el universo visible es aproximadamente plano. Quién puede decir si una hipotética periodicidad se vería con geodésicas, expansión armónica, o de alguna otra manera.

Parte del argumento de Gromov parece justo. Creo que es cierto que siempre se puede ampliar la escala de la periodicidad propuesta para decir que aún no se ha visto, o que los datos apenas empiezan a mostrarla. Antes de que vieran la anisotropía con el COBE, eso también se retrasaba. El problema más profundo es que la topología de los tres pliegues del universo no aborda tantas cuestiones en cosmología, ni teóricas ni experimentales, como la teoría de la inflación.

Answer 2

No, creo que no lo ha hecho y que es difícil ver cómo podría ser directamente útil.

Para empezar, no está claro si el universo está simplemente conectado. Ni siquiera está claro que sea una pregunta con sentido. A este respecto, no me resisto a citar un pasaje de la obra de Steven Krantz Apócrifos matemáticos Redux :

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Mikhael Gromov cuenta que asistió a conferencias sobre cosmología impartidas por dos topólogos - realmente grandes topólogos - sobre la posible forma del Universo. Gromov preguntó al primero de ellos si el Universo estaba simplemente conectado. El hombre respondió: "Está claro que el Universo no puede estar sino simplemente conectado, ya que una conexión no simple implicaría alguna periodicidad a gran escala, lo cual es ridículo". El otro topólogo dio una charla titulada "¿Está el Universo simplemente conectado?" que parecía estar relacionada con la pregunta. Cuando se le informó de la afirmación del primer ponente, dijo, "Qué más da, sigue siendo una pregunta con sentido, nos guste o no". Al hablar de estas opiniones divergentes, Gromov ofrece la suya propia: "Tome un bucle en el Universo, un bucle razonablemente corto comparado con el tamaño del Universo, digamos de no más de $10^{10}$ a $10^{12}$ años luz y preguntar si es contraíble. Y, para ser realistas, elegimos un tiempo determinado, por ejemplo $10^{30}$ años, y pregunte si es contratable dentro de este tiempo. Así que se permite mover el bucle alrededor, digamos a la velocidad de la luz, y tratar de determinar si se puede o no contraer dentro de este tiempo. La cuestión es que, incluso imaginando que nuestro espacio es una 3-esfera topológica S 3 podemos organizar una métrica suficientemente inocua sobre S 3 para que tome más de $10^{30}$ años para contraer ciertos bucles en esta esfera y en el curso de la contracción necesitamos estirar el bucle hasta algo así como $10^{30}$ años luz de tamaño. Por lo tanto, si $10^{30}$ años es todo el tiempo que tienes, concluyes que el bucle no es contraíble y si $\pi_1(S^3) = 0$ se convierte en una cuestión de opinión".

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Por otro lado, la cuestión de la aplicabilidad de Poincare (y la geometrización) al mundo real ha sido planteada por otros. La agencia gubernamental DARPA incluyó en su lista de 23 retos para el futuro lo siguiente:

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¿Cuáles son las consecuencias físicas de la demostración de Perelman del teorema de geometrización de Thurston? ¿Pueden aplicarse los profundos avances teóricos en la comprensión de las tres dimensiones para construir y manipular estructuras a distintas escalas para fabricar nuevos materiales?

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A mí la pregunta de DARPA me parece ingenua rozando lo risible, pero otros pueden opinar de forma diferente, sobre todo si reciben financiación.

Answer 3

Con el debido respeto a Mikhail Gromov, ¡la Física no trata de bucles homotópicos en el universo espacial! Eso sería ciertamente risible. En Física, el grupo fundamental se refleja en el espectro del laplaciano: $S^3$ y $S^3/\Gamma$ Por ejemplo, tienen diferentes armónicos y esto es algo que se puede deducir de las mediciones, aunque quizás no se midan directamente.

Según los modelos cosmológicos actuales, el universo primitivo era un plasma caliente del que la luz no podía escapar: básicamente los fotones tenían un recorrido libre medio muy pequeño porque hay tanta actividad en el plasma que no tardan en encontrar algo contra lo que dispersarse. Sólo cuando el universo empieza a enfriarse, los fotones pueden escapar en algún momento. Esto ocurre a lo largo de un periodo de tiempo, pero cosmológicamente hablando podemos suponer que ocurre instantáneamente. El fondo cósmico de microondas que medimos hoy son los fotones que se liberaron en ese momento. Por supuesto, se han enfriado considerablemente desde entonces. Contienen información sobre la "superficie de última dispersión" y lo que hacen experimentos como COBE, WMAP, Planck,... es esencialmente tomar fotos de la superficie de última dispersión con una resolución cada vez mayor. Los colores de las bonitas imágenes que se ven procedentes de COBE y WMAP corresponden a las fluctuaciones de temperatura que se pueden relacionar con las fluctuaciones de densidad en el universo primitivo a través de algo llamado efecto Sachs-Wolfe. En pocas palabras, este efecto relaciona la expansión armónica de las fluctuaciones de densidad en el universo espacial primitivo y la expansión armónica de la temperatura en función de la esfera celeste. Esta última puede medirse directamente, y la primera puede inferirse. Así que, en principio, es posible relacionar la topología del universo espacial con los datos empíricos.

De hecho, el trabajo de Luminet, Weeks, Riazuelo, Lehoucq y Uzan que Greg Kuperberg enlaza en su respuesta se basó en el análisis de los datos del primer año de WMAP. El espectro de potencia de los datos reveló que los modos más bajos estaban muy atenuados y esto sugería que el universo espacial carecía de los armónicos más bajos: recordemos que los armónicos en $X/\Gamma$ son los $\Gamma$ -armónicos invariables en $X$ . De los posibles modelos, fue $S^3/E_8$ que se ajustaba mejor a los datos (¡muy escasos!). Este modelo ha sido ahora desaprobado porque predice la existencia de "círculos en el cielo": sectores de círculos en dos lugares diferentes de la esfera celeste con las mismas fluctuaciones de temperatura. Hay algoritmos informáticos que buscan esos círculos en el cielo, pero que yo sepa nunca se ha encontrado ninguno.

Esta historia sugiere la pregunta: ¿Se puede escuchar la forma del universo? parafraseando la famosa pregunta de Mark Kac sobre la forma de un tambor. En el caso de la pregunta de Kac sabemos que la respuesta es negativa: Milnor descubrió que existen toros isospectrales no isométricos de 16 dimensiones, casualmente los dos toros que definen las dos teorías de cuerdas heteróticas, y más recientemente también se han construido dominios planos no isométricos con límites lineales a trozos que son isospectrales. Sin embargo, para formas espaciales tridimensionales la respuesta a la pregunta es positiva, y esto es da la esperanza de que los datos cosmológicos podrían determinar la forma del universo.

No tengo claro si la conjetura de Poincaré tiene alguna relación con esta historia, pero lo que es innegable es que la naturaleza de la topología y la geometría del universo espacial es físicamente relevante. Tiene que ver con cuestiones tan "grandes" como si el universo es finito o infinito y, de hecho, con cuál puede ser su destino final, si Gromov o cualquiera de nosotros estará allí para presenciarlo.

Answer 4

La respuesta corta es no. El hecho es que los cosmólogos experimentales utilizan un modelo global muy burdo para el universo, el Universo FLRW . Las secciones transversales tridimensionales de este modelo modelo son 3manifolds de curvatura constante, y por lo tanto ya satisfacen la Geometrización Teorema . Así que, en cierto sentido, los cosmólogos ya han tomado la conjetura de Poincare como una hipótesis de trabajo todo el tiempo.

Answer 5

No, que se sepa.

Por otra parte, mucha gente piensa en cómo sería el universo si fuera de hecho el espacio dodecaédrico de Poincaré (¡el contraejemplo de la conjetura original de Poincaré!).

Véase, por ejemplo La topología espacial dodecaédrica como explicación de las débiles correlaciones de temperatura de gran ángulo en el fondo cósmico de microondas en la Naturaleza, y El efecto residual de la aceleración de la gravedad en el espacio dodecaédrico de Poincaré disponible en el arxiv.

Más información en La fase óptima de la hipótesis del espacio dodecaédrico generalizado de Poincare implicada por la función de correlación cruzada espacial de los mapas del cielo del WMAP afirma haber encontrado algunas pruebas estadísticas de que esto podría ser cierto, observando las correlaciones en el fondo cósmico de microondas.