igualdad entre dos álgebras sigma

Question

Toma dos conjuntos $E_1$ y $E_2$ y asumir $f$ es una función $E_1 \to E_2$ . Tomemos ahora una familia de subconjuntos de $E_2$ y llamarlo $(O_i)_{i\in I}$ y considerar a la familia $\left(f^{-1}(O_i)\right)_{i\in I}$ de subconjuntos de $E_1$ . Llame a $\mathcal B_1$ el $\sigma$ -álgebra en $E_1$ generado por $\left(f^{-1}(O_i)\right)_{i\in I}$ y $\mathcal B_2$ el $\sigma$ -álgebra en $E_2$ generado por $(O_i)_{i\in I}$

¿Es cierto que $\mathcal B_1 = f^{-1}(\mathcal B_2)$ ? Lo que veo es que al menos $\mathcal B_1 \subset f^{-1}(\mathcal B_2)$ .

Si esto no es cierto, ¿cómo se puede demostrar que para una función medible $f: E \to \overline{\mathbb{R}}$ la preimagen de cualquier conjunto borel de $\overline{\mathbb{R}}$ es un conjunto medible de $E$ cuando la mensurabilidad ha sido definida por: $f^{-1}(]c;+ \infty[)$ es un conjunto medible para cualquier $c\in\mathbb{R}$

Answer 1

Para cualquier subcolección $\mathcal{C}$ de $\wp\left(E_{1}\right)$ o $\wp\left(E_{2}\right)$ dejar $\sigma\left(\mathcal{C}\right)$ denotan el $\sigma$ -generada por $\mathcal{C}$ .

En lugar de $\left(O_{i}\right)_{i\in I}$ Voy a escribir $\mathcal{V}$ para que $\sigma\left(\mathcal{V}\right)$ denota el $\sigma$ -álgebra generada por $\mathcal{V}$ .

Definición de $f^{-1}\left(\mathcal{C}\right)=\left\{ f^{-1}\left(C\right)\mid C\in\mathcal{C}\right\} $ para cualquier subcolección $\mathcal{C}$ de $\wp\left(E_{2}\right)$ usted en realidad está preguntando si la siguiente afirmación es cierta: $$f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{V}\right)\right)=\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{V}\right)\right)$$ La respuesta a esta pregunta es: " sí ".

---

Empieza por demostrar las siguientes afirmaciones :

• $f^{-1}\left(\mathcal{A}\right)$ es un $\sigma$ -álgebra siempre que $\mathcal{A}\subseteq\wp\left(E_{1}\right)$ es un $\sigma$ -Álgebra.
• $\left\{ A\in\wp\left(E_{2}\right)\mid f^{-1}\left(A\right)\in\mathcal{B}\right\} $ es un $\sigma$ -álgebra siempre que $\mathcal{B}\subseteq\wp\left(E_{1}\right)$ es un $\sigma$ -Álgebra.

No son demasiado difíciles de probar, sobre todo porque las preimágenes son bastante agradables de trabajar.

---

La primera afirmación nos dice inmediatamente que $f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{V}\right)\right)$ es un $\sigma$ -y esto, por supuesto, con $f^{-1}\left(\mathcal{V}\right)\subseteq f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{V}\right)\right)$ .

Esto permite concluir que $\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{V}\right)\right)\subseteq f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{V}\right)\right)$ .

La segunda afirmación nos dice que $\left\{ A\in\wp\left(E_{2}\right)\mid f^{-1}\left(A\right)\in\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{V}\right)\right)\right\} $ es un $\sigma$ -y esto con $\mathcal{V}\subseteq\left\{ A\in\wp\left(E_{2}\right)\mid f^{-1}\left(A\right)\in f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{V}\right)\right)\right\} $ .

Esto permite concluir que $\sigma\left(\mathcal{V}\right)\subseteq\left\{ A\in\wp\left(E_{2}\right)\mid f^{-1}\left(A\right)\in\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{V}\right)\right)\right\} $ o de forma equivalente $f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{V}\right)\right)\subseteq\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{V}\right)\right)$ .