Definición de integral de Riemann, o integral de Riemann-Stieltjes.

Question

Al definir la integral de Riemann, digamos de $\int_a^b f(x)dx$ para $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (o una configuración más general), lo tomamos como límite de la suma de rectángulos que se encogen, por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral . Estos rectángulos son verticales. ¿Existe también una definición que tome rectángulos horizontales?

Por ejemplo, ¿sería esta una definición equivalente : Sea $P_n$ sea la partición a de $[a,b]$ es decir $x_1,x_2,x_3,\ldots x_n$ y $|P_n|=\max_{i=1,...,n}|x_{i+1}-x_i|$ . Entonces define como integral de Riemann : $$\int_a^b f(x)dx= \lim_{|P_n|\to 0} \sum_{i=1}^n (f(x_{i+1})-f(x_i)) x_i. $$

¿Podemos hacer esto también para las integrales de Riemann-Stieltjies? ¿Alguien tiene una fuente?

Answer 1

Para una partición $P=\{a=x_0, x_1,\ldots, x_{n-1}, x_n=b\}$ de $[a,b]$ y una función no decreciente $g$ en $[a,b]$ definen la suma superior de Darboux de $f$ con respecto a $g$ por $$ U(P,f,g) = \sum_{i=1}^n(g(x_i)-g(x_{i-1}))\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x) $$ y la suma inferior de Darboux de $f$ con respecto a $g$ por $$ L(P,f,g) = \sum_{i=1}^n(g(x_i)-g(x_{i-1}))\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x). $$ Entonces la integral de Riemann-Stieltjes de $f$ con respecto a $g$ existe si para todo $\varepsilon>0$ existe una partición $P$ tal que $$ U(P,f,g) - L(P,f,g) < \varepsilon. $$ Si además tenemos que $f$ o $g$ es continua, esto equivale a $$ \lim_{\|P\|\to 0}(U(P,f,g)-L(P,f,g)) = 0. $$