$\int_{3}^{x^2} e^{t^2} +1dt$ mínimos e inf

Question

$$F(x) = \int_{3}^{x^2} e^{t^2}+1 dt$$

Me dan las siguientes opciones:

a. $\inf(F) = -\infty$

b. $\min(F) > 0$

c. $F$ tiene un límite inferior pero no un mínimo

d. $\min(F) < 0$

Esto es lo que hice:

$$F'(x) = F(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) - F(3) \cdot \frac{d}{dx}(3) = 2x(e^{x^4}+1)$$

En este punto, ya que $$e^{x^4} + 1 > 0 \forall x \in\mathbb{R}$$ y $$2x <0 \forall x \in (-\infty,0)$$ la función $F(x)$ es decreciente en el intervalo $(-\infty,0)$ ya que la derivada es negativa en ese intervalo y sólo se hace cero en $x=0$ .

Mi respuesta era, por tanto, la (a), pero resulta que es incorrecta. ¿Qué he hecho mal?

Answer 1

$F$ es decreciente en $(-\infty,0)$ y aumentando en $(0,\infty)$ y por lo tanto, el mínimo se alcanza en $0$ . También, $$F(0)= \int_3^0e^{x^4}+1dx$$ $$=-\int_0^3e^{x^4}+1dx$$ $$<0$$ Por lo tanto, la opción correcta es (d).