Uso de la desigualdad de triángulos para resolver la desigualdad.

Question

Pregunta de un libro de texto.

Demostrar que para los no negativos $x,y,z$ que $$ (x+y+z) \sqrt{2} \leq \sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{ y^2 + z^2} + \sqrt{x^2 +z^2} $$

y que para $ 0< x \leq y \leq z$ ,

$$ \sqrt{y^2 +z^2} \leq x\sqrt{2} + \sqrt{(y-x)^2 +(z-x)^2} $$

en la que la pista era utilizar la desigualdad del triángulo para "una suma apropiada". ¿Cómo funcionan estos enfoques? ¿Hay alguna manera de "saber" de antemano cuáles son estas sumas?

Answer 1

Una pista: $a)$ utilice $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \ge \dfrac{a+b}{2}$ , sumadlos ( $3$ de ellos ). Y $b)$ la desigualdad del triángulo se aplica a $3$ vértices $A(y,z)$ , $B(x,x)$ y $O(0,0)$ que dice $OA \le OB + AB$ lo cual es cierto.

DE ACUERDO. De nuevo para $a)$ El $\triangle$ - La desigualdad que desea se verá a través de la siguiente construcción: Supongamos que $a \le b$ déjalo: $O(0,0), C(a,b), D(b,a), M(a+b,a+b)$ . Entonces el cuadrilátero $OCMD$ es un paralelogramo y la desigualdad anterior se traduce en: $OC + OD = OC + CM \ge OM = OB + BM = OB + OA $ lo cual es cierto. Luego repite esto para cada par $(x,y), (y,z)$ y $(x,z)$ y sumarlos también.

Answer 2

1. $(\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{ y^2 + z^2} + \sqrt{x^2 +z^2} )^2= 2(x^2 + y^2+ z^2) + \;\;non-negative\;\; terms\geq 2(x^2 + y^2+ z^2)$

lo que da lugar a la primera desigualdad.

2. $(y-x)^2 + (z-x)^2=y^2+z^2+2x^2-2x(y+z)\geq y^2+z^2+2x^2-2\sqrt{2}x(\sqrt{y^2+z^2})=(\sqrt{y^2+z^2}-\sqrt{2}x)^2$

se obtiene la segunda desigualdad.