Solución en enteros a un sistema de ecuaciones lineales

Question

Dado $a,b>0$ tal que $a\ne b$ pero no se da nada más (por ejemplo $a,b$ no se sabe si son coprimas), quiero entender la estructura del conjunto de soluciones del siguiente sistema de dos ecuaciones lineales:

$a(x+y)+b(z+w)=0$

$a(z-w)+b(x-y)=0$

¿Cómo puedo abordar este problema? ¿Son las suposiciones adicionales sobre $a,b$ ¿es útil en este caso?

Answer 1

Puedes ver esto como encontrar el espacio nulo de la matriz

$\begin{pmatrix} x+y & z+w \\ z-w & x-y \end{pmatrix}$

Para tener un espacio nulo no trivial, el determinante de esta matriz debe ser cero, lo que nos dice algo sobre x, y, w y z

Answer 2

Elaborando un poco sobre el post de Chris, la condición determinante es $x^{2} + w^{2} = y^{2} + z^{2}$ . Sumando y restando el sistema original de ecuaciones se obtiene $$\begin{eqnarray} a(x + y + z - w) + b(x - y + z + w) = 0 \quad \text{and} \quad a(x + y - z + w) + b(w - x + y + z) = 0. \end{eqnarray}$$ que impone más restricciones a las posibles soluciones $(x,y,z,w)$ si $a$ y $b$ son distintos de cero.