Tengo que demostrar que cualquier cónica irreducible en $\mathbb{P^2(\mathbb{K})}$ donde $\mathbb{K}$ es algebraicamente cerrada es isomorfa como variedad cuasiproyectiva a la recta proyectiva. Escribí la cónica como equivalente al lugar cero de $ x^2 +y^2+z^2$ en $\mathbb{P^2(\mathbb{K})}$ . He intentado utilizar los gráficos afines estándar para cubrir esta variedad más simple y parametrizarla pero no lo he conseguido. ¿Qué me falta?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para $\mathbb K=\mathbb R$ su cónica específica $x^2+y^2+z^2=0$ parece una mala elección, ya que no contiene ningún punto.
El enfoque general que sugiero es el siguiente: elegir tres puntos distintos $A,B,C$ en la cónica para establecer una base proyectiva, de la misma manera que elegirías tres puntos en una recta proyectiva para establecer una base allí. También hay que elegir un cuarto punto $P$ en la cónica; no importa dónde mientras sea distinta de $A,B,C$ . Entonces se puede caracterizar cada punto $D$ en la cónica a través de la relación cruzada vista desde $P$ :
$$f(D)=(A,B;C,D)_P=\frac{[A,C,P][B,D,P]}{[A,D,P][B,C,P]}$$
El valor de esta fracción no depende de $P$ , excepto que para $D\sim P$ dividirías cero entre cero. Pero la elección de un $P$ puede eliminar esta singularidad. Se puede tratar el numerador y el denominador como dos coordenadas homogéneas que describen un punto $D$ en una línea proyectiva.
Para el caso especial de la cónica $x^2+y^2-z^2=0$ es decir, el círculo unitario, con $A=[-1:0:1],B=[1:0:1],C=[0:1:1]$ esto corresponde a la sustitución del medio ángulo tangente:
$$f(D)=\frac{u}{v} \quad\Leftrightarrow\quad D \sim [v^2-u^2:2uv:v^2+u^2]$$
Si realmente quieres un mapa para $x^2+y^2+z^2=0$ sobre un campo donde este tiene algunos puntos para empezar, utilizando esos puntos como $A,B,C,P$ también debería dar una parametrización adecuada. En $\mathbb C$ podrías multiplicar todo $z$ coordenadas por $i$ como sugirió Jan-Magnus Økland en un comentario.
Ver también esta respuesta mía para más información, basada en la cuestión relacionada de cómo parametrizar una cónica. Véase también esta pregunta para saber cómo mapear una cónica a otra, para ver por qué teniendo un isomorfismo para una cónica no degenerada se obtendrá un isomorfismo para otras también.
