Estoy calculando la función de Wigner para una función lorentziana, que es la transformada de Fourier de la exp(-| x |) función de amortiguación. Pero estoy teniendo un problema al normalizar esta función, ya que estoy obteniendo la función Sinh Cosh en la función Wigner para la coordenada de posición. Por favor, guíeme en esto, es decir, cómo normalizar esta función de Wigner. Mi función de onda se comporta bien (normalizable) tanto en el espacio de posición como en el de momento.
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thierryb
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Supongo que conoces las patologías del (Lorentz, Breit-Wigner) Distribución de Cauchy . Pero sus funciones hiperbólicas no parecen correctas.
La integral básica que necesitas es , por supuesto, $$ \int^\infty_{-\infty} dx \frac{1}{(1+x^2)^2}=\pi/2 ~. $$
Su función de onda normalizada debería ser $$ \psi=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1+x^2}. $$ 
(véase la curva púrpura)
La función real de Wigner ( $\hbar=1$ al no estar dimensionado), normalizado automáticamente (en virtud del p colapso integral y la normalización de la función de onda, arriba), es entonces $$ f(x,p)= \frac{1}{\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty} dy ~ \frac{e^{iyp}}{(1+(x-y/2)^2)(1+(x+y/2)^2)} . $$
Antes de la evaluación, recuerde $f(x,p)=f(-x,p)=f(x,-,p)$ y, por encima, $~f(0,0)=1/\pi$ .
$$ f(x,p)= \frac{2}{\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty} dy ~\frac{e^{i2yp}} {(y-x-i)(y-x+i)(y+x-i)(y+x+i)} ~. $$ Los postes están en $i\pm x, ~ -i\pm x$ .
El teorema de Cauchy conduce a contour-integrating en el plano medio superior del complejo para p >0, y la inferior para p <0.
Para p >0, $$ f=\frac{4i}{\pi} e^{-2p} \left (\frac{e^{i2px}}{8ix(x+i)} + \frac{e^{-i2px}}{8ix(x-i)}\right) =\frac{e^{-2p}}{\pi(1+x^2)} (\cos (2px) +\sin(2px) /x ). $$
Para p <0, $$ f(x,p)=\frac{e^{2p}}{\pi(1+x^2)} (\cos (2px) -\sin(2px) /x ). $$
Por lo tanto,
- Por lo tanto, $$ f(x,p)=\frac{e^{-2|p|}}{\pi(1+x^2)} \left(\cos (2px) +\frac{\sin(2|p|x)} {x} \right), $$ con las simetrías necesarias y el valor en el origen especificado de antemano.
- De hecho, $$ f(0,p)= \frac{e^{-2|p|}}{\pi} (1+2|p|), \qquad f(x,0)= \frac{ 1}{\pi(1+x^2)}~, $$ por lo que las patologías de momento de la distribución de Cauchy siguen el p \=0 ¡Función de Wigner!
Bonificación aparte en el potencial : ¿Te resulta familiar esto?
Bueno, si intercambias x con p , su transformada de Fourier $\exp(-|x|)$ es el único estado ligado del atractivo potencial , para \= 1; por lo que f(p,x) ¡en lugar de lo anterior sería su Función Wigner!
