Estoy estudiando las soluciones de viscosidad de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi por el libro de Evans. Si aplicamos el método de la viscosidad evanescente y añadimos el término regularizador, obtenemos la siguiente ecuación parabólica cuasilineal: $$ u_t^{\varepsilon} + H(D_x u^\varepsilon, x) = \varepsilon \Delta u^\varepsilon \\ u^\varepsilon(x,0) = g$$ Evans dice sencillamente que estos resultan tener soluciones suaves. Me he preguntado por qué es así. He intentado encontrar algo en el libro de Ladyzhenskaya "Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type", pero parece que allí la teoría es mucho más general de lo que necesito, por lo que me llevaría mucho tiempo pasarlo. ¿Alguien podría darme alguna referencia o explicación de este hecho? En este caso $H$ es una función suave, y $g$ es continua.
Respuesta
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Ver Lema 4.3 y la discusión circundante en [1]. Allí, Evans utiliza un resultado de Friedman en [2]. El documento [2] puede ser descargado aquí .
[1] Evans, Lawrence C. , Sobre la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales parciales no lineales por métodos de operadores acreedores , Isr. J. Math. 36, 225-247 (1980). ZBL0454.35038 .
[2] Friedman, Avner , El problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales parciales de primer orden Indiana Univ. Math. J. 23, 27-40 (1973). ZBL0243.35014 .
