Demostrar que $\lim_n \|\partial^s (f_n - g_n)\|_p = 0$ (no hay tarea...)

Question

La configuración es la siguiente:

Dejemos que $\Omega \subset \mathbb{R}^m$ ser abierto y considerar algunos $L^p(\Omega)$ que en breve escribiré como sólo $L^p$ a partir de ahora. Además, dejemos (para algunos $k \in \mathbb{N}$ ) $\widetilde{X}$ denotan la terminación más pequeña de $$X:=\left \{ F \in C^\infty(\Omega,\mathbb{R}) ;\ \|f\|<\infty,\ \|f\|:=\sum_{|s|\leq k} \|\partial^sf\|_p \right\}$$ $\widetilde{X}$ es un subconjunto de $W^{k,p}$ es decir, el conjunto de funciones en $L^p$ que satisfagan:

$$\forall \varphi \in C^\infty_0(\Omega,\mathbb{R}): \forall s \in \mathbb{N}^m \ \text{with}\ |s|\leq k: \exists f^{(s)} \in L^p: \int_\Omega f\partial^s\varphi\,d\lambda=\int_\Omega \varphi f^{(s)}\,d\lambda$$

En el libro de texto de H.W. Alt "Lineare Funktionalanalysis" y en mi conferencia se afirma que $J: \widetilde{X} \rightarrow W^{k,p}, [(f_n)] \mapsto \lim_n f_n$ donde el límite en $L^p$ se entiende y $[(f_n)]$ denota la clase de equivalencia perteneciente a la secuencia de Cauchy obtenida por el proceso de finalización de $X$ es inyectiva. Así que hay que demostrar que

$$J([(f_n)])=J([(g_n)]) \implies [(f_n)]=[(g_n)] \overset{\text{by}\, \text{def}.}{\iff} 0=\lim_n \|f_n-g_n\|\\=\lim_n \sum_{|s|\leq k} \|\partial^s(f_n-g_n)\|_p$$

Pero, ¿cómo $\lim_n f_n = \lim_n g_n$ en $L^p$ ¿Implica esto? Obviamente, por definición de la norma sobre $X$ , la declaración del título tiene que ser mostrada (con la configuración proporcionada en esta descripción...). ¿Puede alguien ayudarme con la prueba?

He intentado demostrar esto yo mismo, pero no he obtenido ningún resultado... por favor, ten en cuenta que todavía no hemos tenido la convolución - pero si no hay otra manera de demostrar esto que usando la convolución, todavía estaré encantado de escuchar una respuesta, por supuesto, sólo para saber que todavía no puedo entender la prueba.

Es un poco difícil buscar este tipo de preguntas, aunque lo he intentado y no he encontrado nada. Supongo que esto podría ser interesante para cualquiera que esté aprendiendo el análisis funcional...

Answer 1

Para (cualquier secuencia de Cauchy) $(f_n) \in {X}^\mathbb{N}$ y un multiíndice arbitrario $|s|\leq k$ la definición de la norma sobre $X$ implica directamente la existencia de $f^{(s)}$ , s.t. $\|\partial^{(s)} f_n - f^{(s)}\|_p \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0$ especialmente $\| f_n - f^{(0)}\|_p \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0$ . Definir $f:=f^{(0)}$ . Se puede demostrar que $$\forall \varphi \in C^\infty_0\colon \int_\Omega f \partial^{(s)}\, \varphi\, d\lambda = (-1)^{|s|}\int_\Omega \varphi\,f^{(s)}\,d\lambda$$ Estos $f^{(s)}$ están determinados de forma única por $f=\lim_n f_n=\lim_n g_n$ (este es otro teorema, que no se demostrará aquí, véase el libro de H.W. Alt que también está disponible en inglés). Utilizando lo anterior para $(g_n)$ por lo que, debido a esta propiedad de unicidad, se obtiene $$\|\partial^{(s)}f_n - \partial^{(s)}g_n\|_p\leq \|\partial^{(s)}f_n - f^{(s)}\|_p + \|f^{(s)} - \partial^{(s)}g_n\|_p\overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0\,,$$ desde $\partial^{(s)}f_n\,,\,\partial^{(s)}g_n\overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}f^{(s)}$ .

Puede ser digno de mención añadir (para gente como yo, que es nueva en esto...):

1. En $W^{k,p}$ La igualdad es la igualdad. $\lambda$ -casi en todas partes.
2. Para las funciones continuas, la igualdad $\lambda$ -casi en todas partes es equivalente a la igualdad en todas partes. Así que para cada derivada parcial de cualquier $f \in C^\infty$ la clase de equivalencia de $f$ - con respecto a la equivalencia de ser idéntico $\lambda$ -a.e.- puede identificarse con $f$ mismo, de modo que $\partial[f]:=[\partial f]$ está bien definida.