Límite de $\frac{sin(z)}{z }$ como $z$ se acerca a $0$ ?

Question

¿Cómo puedo proceder? ¿Puedo utilizar las mismas técnicas que utilizamos para calcular un límite cuando la variable es un número real?

edit : olvidé mencionar que z es un número complejo

Answer 1

Una pista: $$\lim_{z \rightarrow 0}\frac{sin(z)-sin(0)}{z-0}=sin(0)'=cos(0)=1$$

Answer 2

Una técnica es el uso de series de potencia:

Para $ z \ne 0$ : $ \frac{\sin z}{z}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-+... \to 1$ para $z \to 0$

Answer 3

Tal vez una prueba más formal:

Denote $f(z)=\frac {\sin(z)}{z}$ . $f$ es analítico en $\Bbb C$ excepto un punto de singularidad en $0$ .

Mira la serie Taylor $\sin(z)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ . Lo que implica $\frac{\sin(z)}{z}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {z^{2n}}{(2n+1)!}$ . Esto sigue siendo una serie de Taylor (no hay sumandos de la forma $\frac{A}{z^{-n}}$ donde $A\not= 0, n\in\Bbb N$ ). Esto significa que $\lim_{z\to z_0}\frac{\sin(z)}{z}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {z^{2n}}{(2n+1)!}|_{z=0}=1$ .

Observación: Si no hubieras conseguido una serie Taylor el límite habría sido $\infty$ si hubieras conseguido una serie de la estructura $\sum_{n=-m}^\infty a_{n}z^n$ e indefinido si la serie hubiera sido de la estructura $\sum_{n=-\infty}^\infty a_{n}z^n$ donde $a_{-n}\not=0$ infinitamente a menudo para $n\in\Bbb N$ .

Answer 4

Puedes resolverlo con la regla de L'Hospital. $$sin(z)/z = cos (z)/1$$ Y $cos (0)=1$ . Y así $sin (z)/z=1$ para las aproximaciones de z $0$