Particular integral de $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 4y = \mathrm{e}^x\ $

Question

Necesito encontrar la integral particular de la siguiente ecuación: $\dfrac{d^2y}{dx^2} - 5\dfrac{dy}{dx} + 4y = \mathrm{e}^x\ $

Hasta ahora he comprobado que $y = A\mathrm{e}^{4x}+B\mathrm{e}^x $ .

Entonces para PI, $y = C\mathrm{e}^x $ , $\dfrac{dy}{dx} =C\mathrm{e}^x $ , $\dfrac{d^2y}{dx^2}=C\mathrm{e}^x $ .

Pero cuando intenté sustituir esto a la ecuación de arriba, el resultado fue $0$ . ¿Significa esto que $C$ ¿es cero? Mi profesor me ha dicho que la respuesta no es cero y no consigo encontrar la respuesta.

Muchas gracias.

Answer 1

La solución particular debe ser de la forma $$ y=Ax\mathrm{e}^x, $$ ya que el término no homogéneo es una solución de la ecuación homogénea correspondiente.

De hecho, se puede demostrar fácilmente que $A=-\frac{1}{3}$ .

Answer 2

La integral particular debe ser independiente de la solución de la ecuación homogénea. Dado que $e^x$ es una de las soluciones homogéneas, no se puede utilizar como la integral particular. Se puede hacer una nueva función que sea independiente multiplicando por $x$ lo que lleva a la forma $Cxe^x$ .

Answer 3

Si no recuerda que una posible solución particular es $C x e^{x}$ Puede intentar usar una variación del parámetro como lo hice yo aquí .

¡Salud!