Transformación simpléctica del elipsoide en el espacio simpléctico estándar

Question

Dado el espacio simpléctico estándar de 4 dimensiones $\mathbb{R}^4$ con coordenadas de Darboux $(z_1,z_2,z_3,z_4)=(x_1,x_2,y_1,y_2)$ y la estructura simpléctica $\omega=\sum dx_j \wedge dy_j$ Estoy tratando de encontrar una transformación simpléctica que tome el Elipsoide \begin{align} E: \frac{z_1^2}{a^2}+\frac{z_2^2}{b^2}+\frac{z_3^2}{c^2}+\frac{z_4^2}{d^2}=1 \end{align} a la Bola de 4 dimensiones con radio $r$ Es decir \begin{align} S^3_r(z)=\{z \in \mathbb{R}^4: z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2=r^2\}. \end{align} Ya sé que esto es posible en $\mathbb{R}^2$ y que en general ( $\mathbb{R}^{2n}$ ) podemos escribir el elipsoide $E$ en la forma \begin{align} E: \sum a_i(x_i^2+y_i^2)=1, \end{align} utilizando un transformación lineal simpléctica (véase, por ejemplo: Tabachnikov (fuente: https://www.math.psu.edu/tabachni/prints/Uspekhi.pdf )).

Mis preguntas son ahora:

1) ¿Cómo es que esto transformación lineal simpléctica explícitamente como, por ejemplo, en $\mathbb{R}^4$ ?

2) ¿Es posible encontrar una transformación simpléctica $f$ (para que $\omega(fu,fv)=\omega(u,v)$ ) que lleva el elipsoide a una Bola 4 y si es así, ¿cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

Un elipsoide general no puede ser llevado a una bola utilizando sólo transformaciones simplécticas.

Obsérvese que el elipsoide $E = \{ (z_1, z_2, z_3, z_4) | z_1^2/a^2 + z_2^2/b^2 + z_3^2/c^2 + z_4^2/d^2 \le 1\}$ es la bola unitaria para $\mathbb{R}^4$ equipado con el producto escalar positivo-definido $(v, w) := v^T \, \mathrm{diag}(a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}, d^{-2}) \, w$ . En particular, la bola unitaria estándar es la bola unitaria del producto escalar estándar con $a=b=c=d=1$ . Por lo tanto, su pregunta (2) equivale a lo siguiente: denotando $M$ la matriz simétrica $\mathrm{diag}(a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}, d^{-2})$ ¿existe una matriz simpléctica $S$ tal que $r^{-2} Id = S^TMS$ para algún (radio) $r>0$ ?

El teorema de Williamson es la clave para responder a esta pregunta: Dado cualquier $2n \times 2n$ matriz real simétrica positiva-definida $M$ existe una matriz simpléctica $S \in Sp(2n)$ tal que $S^T M S = \left( \begin{array}{cc} \Lambda & 0 \\ 0 & \Lambda \end{array} \right)$ , donde $\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ . Además, el $\lambda_j$ son únicos hasta la permutación; forman el espectro simpléctico de $M$ .

Por supuesto, cualquier conjunto de números positivos $\lambda_j$ se puede obtener de esta manera, ya que se puede empezar con $M = \left( \begin{array}{cc} \Lambda & 0 \\ 0 & \Lambda \end{array} \right)$ . Por lo tanto, por la parte de unicidad del teorema de Williamson, se ve que no siempre es posible tener $S^TMS = r^{-2} Id$ para algunos $r$ . En sus anotaciones, uno tiene $a_j = 1/\lambda_j$ Deducimos que hay infinitos elipsoides simplécticamente diferentes, cada uno determinado por su espectro simpléctico.

Esto responde a su pregunta (2). En cuanto a su pregunta (1), la demostración del teorema de Williamson podría ser relevante.