¿Cuál es la longitud más corta posible de dicho camino?

Question

Dejemos que $P = (0, 1)$ y $Q = (4, 1)$ sean puntos del plano. Sea $A$ sea un punto que se mueve en el $x$ -eje entre los puntos $(0, 0)$ y $(4, 0)$ . Dejemos que $B$ sea un punto que se mueve en la línea $y = 2$ entre los puntos $(0, 2)$ y $(4, 2)$ . Considere todas las trayectorias posibles formadas por los segmentos de línea $PA,AB$ y $BQ$ . ¿Cuál es la longitud más corta posible de dicho camino?

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totalmente atascado en este problema.cómo puedo ser capaz de resolver este problema

Answer 1

Una prueba geométrica, como insinuó Rahul Narain en los comentarios.

La distancia desde el punto $P = (0, 1)$ para señalar $Q = (4, 1)$ a través de puntos $(a, 0)$ y $(b, 2)$ es la misma que la distancia de $P' = (-1, 0)$ a $Q' = (4, 3)$ a través de los mismos puntos, como en la imagen de abajo.

El camino de $P'$ a $Q'$ es más corto cuando es una línea recta. Esto da inmediatamente los valores de $a$ y $b$ .

Answer 2

Si el punto $A$ está en $(a,0)$ y señalar $B$ está en $(b,2)$ la longitud total es: $$L=\sqrt{1^2+a^2}+\sqrt{2^2+(b - a)^2}+\sqrt{1^2+(4-b)^2}$$ Se busca el mínimo global de esta expresión. Para ello, diferencie según $a$ y $b$ y comparar el vector gradiente con cero. Al comparar $\partial L/\partial a$ a cero, lo encontrarás: $$a (3 a + 2 b) = b^2\ \rightarrow\ a = b/3$$ Ahora tome la derivada con respecto a $b$ y enchufe $a$ : $$\frac{\partial L}{\partial b} = \frac{b-a}{\sqrt{(b-a)^2+4}}-\frac{4-b}{\sqrt{(4-b)^2+1}}$$ Después de un poco de álgebra, encontrarás: $$b = 3 \rightarrow a = 1$$

Editar: Por simetría sabemos que $b = 4 -a$ lo que hace que sólo haya que calcular una derivada, lo que es mucho más fácil.

Answer 3

Una pista: (Suponiendo que estés familiarizado con el cálculo)

Supongamos que el punto $A$ está en $(a,0)$ , $0\leq a\leq 4$ y $B=(b,2)$ . Entonces la distancia total es $$D=d(PA)+d(AB)+d(BQ)=\sqrt{a^2+1^2}+\sqrt{(b-a)^2+2^2}+\sqrt{(4-b)^2+1^2}.$$ A continuación, debe encontrar el mínimo de esta función wrt $a$ y $b$ .

Más pistas: Esto es cuando $\frac{\partial D}{\partial a}=0$ y $\frac{\partial D}{\partial b}=0$ . Esto da $a=1$ y $b=3$ . Puedes hacer el trabajo para verificar esto.