Mientras que en mis clases de física, siempre he oído que las fórmulas de movimiento armónico simple son inexactas por ejemplo en un péndulo, debemos utilizarlos sólo cuando los ángulos son pequeños; en manantiales, sólo cuando el cambio de espacio es pequeña. Lo que sé, SHM vino de las ecuaciones diferenciales de la ley de Hooke - por lo tanto, usando cálculo, debe ser muy precisa. Pero ¿por qué no?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El real de la fuerza de restauración en un péndulo simple no es proporcional al ángulo, pero en el seno del ángulo (es decir, la aceleración angular es igual a $-\frac{g\sin(\theta)}{l}$, no $-\frac{g~\theta}{l}$ ). La verdadera solución a la ecuación diferencial para el péndulo es
$$\theta (t)= 2\ \mathrm{am}\left(\frac{\sqrt{2 g+l c_1} \left(t+c_2\right)}{2 \sqrt{l}}\bigg|\frac{4g}{2 g+l c_1}\right)$$
Donde $c_1$ es la inicial de la velocidad angular y el $c_2$ es el ángulo inicial. El término siguiendo la línea vertical es el parámetro de la Jacobi amplitud de la función de $\mathrm{am}$, que es un tipo de integral elíptica.
Esto es muy diferente de la habitual solución simplificada
$$\theta(t)=c_1\cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t+\delta\right)$$
El pequeño ángulo de aproximación es válida solo para un primer orden de aproximación (por la expansión de Taylor $\sin(\theta)=\theta-\frac{\theta^3}{3!} + O(\theta^5)$).
Y de Hooke la Ley en sí misma es incorrecto para los grandes desplazamientos de una primavera, que puede causar la primavera se rompa o doble.
Gert
Puntos
4819
El problema aquí no es tanto de cálculo como de los supuestos que se hacen sobre el sistema. La solución sólo puede ser tan precisa como la de los supuestos realizados, no importa cuán precisa las soluciones de las ecuaciones.
Para un péndulo donde la distancia entre el centro de gravedad y el punto de anclaje es $l$ y la masa es $m$, la ecuación de movimiento es:
$$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin \theta=0$$
Donde $\theta$ es el ángulo entre el péndulo y el vertical.
Pero esto es matemáticamente difícil de resolver, por lo que invocamos a la pequeña aproximación de ángulo:
$$\sin \theta \approx \theta$$
Esto hace que la ecuación fácil de resolver, pero sus soluciones son sólo una aproximación.
Del mismo modo, para la primavera de sistemas de masa solemos asumir la primavera, para Hookean pero para muchos el mundo real de los sistemas que es sólo una aproximación.
A menudo otras suposiciones acerca de un sistema oscilante, como no hay fricción/no arrastre también de introducir mayor inexactitud del modelo vis-a-vis de la realidad.
Sora
Puntos
113
Para un péndulo, utilizan el % de aproximación $\sin(\theta)\approx\theta$en la derivación de la ecuación armónica simple del movimiento, que sólo es válida para ángulos pequeños.
Para un resorte, es ley de Hooke sí mismo que sólo es válido para razonablemente pequeños estiramientos del resorte - a la que se aplica cientos de veces la fuerza necesaria para strech 10% generalmente no va a ser diez veces su longitud, si aún está en una sola pieza en todos.
Lawrence B. Crowell
Puntos
298
La ecuación diferencial para el oscilador armónico $$ \frac{d^2x}{dt^2} - kx = 0 $$ es una aproximación a la general de péndulo. Volviendo a la escuela primaria, el péndulo tenemos el básico de la suma de fuerzas para la coordenada y orientado a lo largo de la cadena y el eje x perpendicular a ella. Las fuerzas que están marcados en el diagrama de aquí
Hacemos nuestra la suma de fuerzas a lo largo de la dirección de y, que es cero, por lo que la tensión de $T = mg\cos\theta$, y la aceleración en la $x$ dirección es $$ ma = mg\sin\theta. $$ Solemos hacer el siguiente supuesto. Este ángulo se supone que para ser pequeña, así que tenemos $\sin\theta \simeq \theta$. La longitud del arco del swing es $r = \ell\theta$. para $\ell$ de la longitud de la cuerda sin masa. Esta ecuación diferencial, donde $a = d^2x/dt^2$, a continuación, se escribe como $$ \frac{d^2\theta}{dt^2} - \frac{g}{\ell}\theta = 0, $$ lo que nos da la primaria soluciones de $\theta(t) = \exp\left(\sqrt{g/\ell}~t\right)$.
Volvemos, aunque para el caso general con $$ \frac{d^2\theta}{dt^2} - \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0, $$ Esta es la ecuación de Jacobi, y sus soluciones son $$ \theta(t) = 2J_{\mathrm{am}}\left(\frac{1}{2}\sqrt{(k - 2g/\ell)(t + t_0)}\Big|\frac{4g/\ell}{2g/\ell - k}\right) $$ wnere $J_{\mathrm{am}}(x|y)$ es la Jacobi amplitud, o elíptica función. No voy a entrar en mayor detalle, pero deje que para el lector.
El oscilador armónico es una linealización de un problema más general. Hay temas relacionados tales como la ecuación de Mathieu y Floquet de soluciones, y en un marco relativista un pecado relacionado ecuación es la condición sine-Gordon ecuación para un soliton.
Fernando Briano
Puntos
3704
Uno tiene que tener claro la diferencia entre el modelo matemático propuesto, y el sistema físico que se va a describir.
Hasta donde yo sé, SHM vino de las ecuaciones diferenciales de Hooke de la ley - así que, utilizando el cálculo, debe ser muy precisa.
La ecuación matemática es exacta, porque esa es la función de las matemáticas.
La pregunta es "¿puede un modelo específico de la instalación física?"
Para un péndulo, se utiliza la aproximación sen(θ)≈q en la derivación de las armónico simple ecuación de movimiento, que sólo es válida para ángulos pequeños.
La declaración de "sólo es válida para ángulos pequeños" define los límites donde el oscilador armónico modelo matemático puede ser utilizado para describir el péndulo.
Por cierto, el matemático oscilador armónico en la cuantificación de régimen es muy importante porque la mayoría de los simétrica física de los potenciales de expandir en una serie de taylor tiene como primer dominante término de la x^2 . Es por eso que es un ser muy útil para una gran cantidad de aproximaciones de complicado potenciales.
