Utiliza la derivada para encontrar los máximos y mínimos de la función: $n^\frac 1n: n \in \mathbb{N}$

Question

Este post es en referencia a mi de un puesto anterior fila #10.

10. $\{n^\frac 1n: n \in \mathbb{N} \}$ :
    El dominio de los valores está en el conjunto de los naturales.
    No soy capaz de encontrar el mínimo, el máximo (en el rango), y la lista de algunos valores a continuación:

$$\begin{array}{c|c|} & \text{$n\in \mathbb{N}$}& \text{$n^{\frac1n}$}\\ \hline a & 1& 1\\ \hline b & 2& \sqrt{2}\\ \hline c & 3& 3^{\frac13}\\ \hline d & 4& 4^{\frac14}\\ \hline \end{array}$$
El máximo. El valor máximo/mínimo en el rango de la función es desconocido para mí, por lo que necesita encontrar la derivada (tanto la primera como la segunda).
La ecuación sería :

$y = n^\frac 1n: n \in \mathbb{N}$ con los pasos a resolver siendo in-completos:
$ \implies \ln y = \frac 1n \ln n \implies \frac 1y y' = \frac 1{n^2}(1-\ln n ) \implies y' = n^\frac 1n\frac 1{n^2}(1-\ln n )$

Necesito diferenciar dos veces lo anterior, pero no sé cómo continuar.

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Editar:

Sobre la base de las respuestas (comentarios, respuestas) han modificado mi intento, que sigue siendo incompleta. Solicitar la revisión de los contenidos también.:

Como la función es exponencial, también lo es la continua; pero considere el dominio restringido de los números naturales, tal como está dado:

$y = n^\frac 1n: n \in \mathbb{N}$
Como $\log$ es una función monótona, por lo que $\log y$ también lo será.
$ \implies \ln y = \frac 1n \ln n \implies \frac 1y y' = \frac 1{n^2}(1-\ln n ) \implies y' = n^\frac 1n\frac 1{n^2}(1-\ln n )$

En $3$ condiciones del producto de $y' = n^\frac 1n\frac 1{n^2}(1-\ln n )$ , sólo la última legislatura $(1-\ln n)$ puede reducirse a $0$ para valores finitos, es decir, en $x=e$ , como $\ln e = 1$ .

El primer enfoque consiste en confirmar que en $e$ si hay un maximo / minimo, & necesita encontrar por la 2da derivada.

El segundo enfoque (como se muestra en la respuesta seleccionada) es tomar el valor de fn. en los enteros que rodean $e$ en $x=2,3$ es decir $3^{\frac13}, 2^{\frac12}$ ; muestra el valor máximo en $x=e$ .

Volviendo al primer enfoque:
si $y'$ máximo en $x=e$ entonces $y''$ es negativo allí, y viceversa.
$ \implies \ln y = \frac 1n \ln n \implies \frac 1y y' = \frac 1{n^2}(1-\ln n ) \implies y' = n^\frac 1n\frac 1{n^2}(1-\ln n )$

Hay que diferenciar dos veces lo anterior.
$y' = n^\frac 1n\frac 1{n^2}(1-\ln n) \implies \ln y' = \frac 1n \ln n\frac 1{n^2}(1-\ln n)$
Diferenciación con respecto a la $n$ de nuevo:
$y'' = \frac{d}{dn}(y'.\frac 1n \ln n\frac 1{n^2}(1-\ln n))\implies \frac{d}{dn}(n^\frac 1n\frac 1{n^2}(1-\ln n).\frac 1n \ln n\frac 1{n^2}(1-\ln n))$

Necesito ayuda para completar la búsqueda de la segunda derivada.

Answer 1

Tenemos $1^{\frac11}=1$ y para cualquier $n>1$ , $n^\frac1n > 1$ el mínimo y el mínimo es $1$ .

Dejemos que $y = x^{\frac1x}$ , $$\ln y = \frac{\ln x}{x}$$

$$\frac{d\ln y}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x}\right)= \frac{1-\ln x}{x^2}$$

El valor de $y$ aumenta cuando $\ln y$ aumenta. Es entonces cuando $\frac{d\ln y}{dx}>0$ lo que equivale a $1-\ln x > 0$ que es sólo $\ln x < 1$ , tomando el exponencial de ambos lados nos da $x < e$ .

Por lo tanto, $y$ aumenta hasta $e$ y luego disminuye.

Por lo tanto, para cualquier $x_1, x_2 \in (0,e)$ $x_1 < x_2$ implica que $x_1^{\frac1{x_1}}< x_2^{\frac1{x_2}}$ .

Para cualquier $x_1, x_2 \in (e, \infty)$ $x_1 < x_2$ implica que $x_1^{\frac1{x_1}}> x_2^{\frac1{x_2}}$ .

Los dos únicos valores posibles que podrían haber alcanzado los valores máximos son $2$ y $3$ .

Desde $3^\frac13 > 2^\frac12$ el máximo y el supremum es $3^\frac13$ .

Observación:

• Estoy trabajando con $\{ n^\frac1n: n \in \mathbb{N} \}$ que es un subconjunto del número real.

• No estoy trabajando con $\{ x^\frac1x: x \in \mathbb{R}, x>0 \}$ .

Answer 2

Pista: Comprueba las derivadas en n=2 y 3

(concretamente en $2.718281828459045235360\cdots$ )

Answer 3

Pista: Sea f(x) = $x^{1/x}$ . Desde $\log$ es monótona, la función $\log(f(x))$ aumenta precisamente donde $f(x)$ está aumentando. Analice la derivada de $\log (f(x))$ para ver dónde aumenta y disminuye la función. Este tipo de análisis te permitirá eliminar suficientes resultados para que puedas encontrar la respuesta correcta.