Demuestre que el mapa es ergódico

Question

Me dan la siguiente información: Dejemos que $(X,\mathcal{F},\mu)$ sea un espacio de probabilidad y sea $T:X \rightarrow X$ ser medible y fuertemente mezclable. Consideremos el espacio de probabilidad $(Y,\mathcal{G},\nu)$ donde

$ Y = (X \times \left \{ 0 \right \}) \cup (X \times \left \{ 1 \right \}) \cup (X \times \left \{ 2 \right \}), $

$\mathcal{G}$ es el $\sigma$ -generada por los conjuntos $A \times i$ para $A \in \mathcal{F}$ y $i \in \left \{0,1,2 \right \}$ y $\nu$ es la medida definida por $\nu(A \times i) = \frac{1}{3}\mu(A)$ . Definir el mapa $S:Y \rightarrow Y$ por $S(x,0) = (x,1), S(x,1) = (x,2)$ y $S(x,2) = (Tx,0)$ .

Tengo que mostrar que el mapa $S$ es ergódica. Puedo demostrar que preserva la medida, pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de esto. ¿Puede alguien darme una pista?

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $E$ es un $S$ -conjunto invariable: $S^{-1}E = E$ . Escriba $E = E_0\sqcup E_1\sqcup E_2$ donde $E_i \in X\times\{i\}$ . Entonces $E_0 = E_1, E_1 = E_2$ y $\pi(E_2) = T^{-1}\pi(E_0)$ (donde $\pi$ es el mapa de proyección sobre $X$ ). Así que, $\pi(E_0) = T^{-1}\pi(E_0)$ , lo que significa que $\pi(E_0)$ tiene medida $0$ o $1$ desde $T$ es ergódico. Esto significa que $E_0$ tiene medida $0$ o $\frac{1}{3}$ , lo que significa que $E$ tiene medida $0$ o $1$ , según se desee.