Verificación de que un espacio vectorial (especificado a continuación) es una suma directa de dos subespacios (Esta es una pregunta de "Linear Algebra Done Right" de Axler)

Question

Estoy trabajando en el libro de Axler "Linear Algebra Done Right". En la página 15, da este ejemplo:

Consideremos el espacio vectorial $P(F)$ de todos los polinomios con coeficientes en $F$ (es decir, coeficientes tomados de los números reales o de los números complejos). Sea $U_e$ denotan el subespacio de $P(F)$ que consiste en todos los polinomios $p$ de la forma: $$p(z) = a_0 + (a_2)z^2 + ... (a_{2m})z^{2m}$$ y que $U_0$ denotan el subespacio de todos los polinomios $p$ de la forma: $$p(z) = (a_1)z + (a_3)z^3 + ... + (a_{2m+1})z^{2m+1};$$ $m$ es un entero no negativo y los coeficientes son de los reales (para simplificar las cosas).

A continuación, dice que debo verificar que $P(F)$ es una suma directa de $U_e \oplus U_0$ .

Pues bien, para ello he querido utilizar un teorema que aparece unas páginas más adelante, a saber:

si $U_1 ... U_n$ son subespacios de $V$ . Entonces $V$ es una suma directa de $U_1 ... U_n$ si:

a. $V = U_1 + ... U_n$

b. la única forma de escribir $0$ como una suma $u_1 + ... + u_n$ donde cada $u_j$ está en $U_j$ es tomando todas las $u_j$ en $U_j$ es tomando todas las $u_j$ es igual a $0$ .

Quería utilizar este teorema para demostrar $P(F)$ es una suma directa de $U_e \oplus U_0$ . (a) -- a partir del teorema anterior -- se satisface claramente. Lo que me tiene perplejo es la parte (b). Me parece que hay múltiples formas de escribir el $0$ para la suma de $u_e + u_0$ , $u_e \in U_e$ , $u_0 \in U_0$ . Una forma de conseguir $0$ es hacer que cada coeficiente $0$ . O puede asegurarse de que cada entrada de $U_e$ se empareja con la entrada correspondiente de $U_0$ y que juntos suman $0$ . Cuando $U_e$ y $U_0$ se suman, esto daría un $0$ también.

Pero esto no puede ser correcto porque entonces $P(F)$ no sería una suma directa de $U_e$ y $U_0$ .

¿Alguna ayuda?

Answer 1

No se pueden sumar dos elementos no nulos, uno de espacio $U_{e}$ y el otro del espacio $U_{o}$ para conseguir $0$ .

Supongamos que $p + q = 0$ donde $p \in U_{e}$ y $q \in U_{o}$ . Entonces

$$ p(z) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}z^{2k} $$

y

$$ q(z) = \sum\limits_{k=0}^{m} b_{k}z^{2k+1} $$

donde $a_{k},b_{k} \in \mathbb{F}$ .

Entonces

$$ (p+q)(z) = \sum\limits_{k=0}^{\max{(m,n)}}c_{k}z^{k}$$

donde $c_{k} = a_{k}$ si $k$ es par y es $c_{k} = b_{k}$ cuando $k$ es impar.

Ahora la única manera de $(p + q)(z)\;$ para que sea cero $\; \forall z \in \mathbb{F}\,$ es si $a_{k} = 0 \quad \forall\; 0\leq k \leq n$ y $b_{k} = 0 \quad \forall \; 0\leq k \leq m$ .

Answer 2

Hay una forma muy sencilla de justificar lo que dice Vishal. Piensa en una base para Pe y una base para P0, la estándar que utiliza monomios. Una utiliza potencias pares y la otra utiliza potencias Impares. Juntos forman una base para todo el espacio . Pero son linealmente independientes, así que ¿cómo pueden sumar cero sin que todos los coeficientes sean cero? imposible! saludos,