Si un miembro $\{a,b\}$ de $S$ se elige al azar, ¿cuál es la probabilidad de que $a+b$ ¿está a mano?

Question

Dejemos que $S$ sea el conjunto de todos los pares desordenados de enteros distintos de dos dígitos. Si un miembro $\{a,b\}$ de $S$ se elige al azar, ¿cuál es la probabilidad de que $a+b$ ¿está a mano?

Solución:

Los pares (desordenados son): $$\{10,11\},\{10,12\},\{10,13\}\cdots,\{10,99\}$$

$$\{11,12\},\{11,13\},\{11,14\}\cdots,\{11,99\}$$

$$\cdots$$

$$\{98,99\}$$ que son en total: $89+88+87+\cdots +1$ y los pares $\{a,b\}$ tal que $a+b$ es incluso son: $$\{10,12\},\{10,14\},\cdots,\{10,98\}$$ $$\{11,13\},\{11,15\},\cdots\{11,99\}$$ $$\cdots$$ $$\{97,99\}$$

Por favor, díganme si mi planteamiento es correcto o no y cómo seguir adelante. Me gustaría tener una solución fácil / un atajo para el problema anterior. Creo que mi solución lleva mucho tiempo.

Answer 1

Es más fácil contar el número de casos en los que $a + b$ es impar . En particular, hay que tener en cuenta que la suma $a + b$ es impar si y sólo si uno de $a, b$ son Impares y el otro es par. Hay $45$ números Impares de dos dígitos, y hay $45$ números pares de dos cifras. Por lo tanto, hay $45 \cdot 45 = 2025$ formas de elegir $a, b$ tal que $a + b$ es impar.

A continuación, observe que hay ${90\choose 2} = 4005$ formas de elegir $a, b$ sin ninguna restricción. Por complementación, hay $4005- 2025 = 1980$ pares desordenados $\{a, b\}$ tal que $a + b$ está en paz.

Así, la probabilidad requerida viene dada por

$$\frac{1980}{4005} = \boxed{\frac{44}{89}}$$

Answer 2

No importa si el par está ordenado o desordenado, siempre que $a$ y $b$ son distintos. Si elegimos dos números en orden sin reemplazo, entonces cada par $\{a,b\}$ se elige de dos maneras: una como $(a,b)$ y una vez como $(b,a)$ . La distribución de $a+b$ no se ve afectado.

No importa qué primer elemento $x \in \{10, \dots, 90\}$ elegimos, hay $45$ números $y$ con la paridad opuesta a $x$ (para que $x+y$ es impar), pero sólo $44$ números $y \ne x$ con la misma paridad (para que $x+y$ es par), porque no podemos elegir $x$ de nuevo. Así que hay un $\frac{44}{44+45} = \frac{44}{89}$ probabilidad de obtener un total par, y una $\frac{45}{44+45} = \frac{45}{89}$ probabilidad de obtener un total de impar.