¿Estrictamente convexo implica un gradiente invertible?

Question

Si $f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ es estrictamente convexo y continuamente diferenciable, ¿implica esto que $\nabla f$ es un mapeo uno a uno?

Para ser precisos, ¿podemos decir que $x, y \in \mathbb R^n$ y $\nabla f(x) = \nabla f(y)$ implica $x = y$ ?

Answer 1

Supongamos que existe $x, y \in \mathbb R^n$ tal que $\nabla f(x) = \nabla f(y)$ y $x \neq y$ .

Entonces, por la convexidad estricta de $f$ podemos escribir \begin{equation} \nabla f(x) \cdot (y-x) < f(y) - f(x) \end{equation} y de manera similar \begin{equation} \nabla f(y) \cdot (x-y) < f(x) - f(y). \end{equation} Multiplicando ambos lados de esta última desigualdad por $-1$ y sustituyendo $\nabla f(x)$ en lugar de $\nabla f(y)$ obtenemos \begin{equation} \nabla f(x) \cdot (y - x) > f(y) - f(x), \end{equation} lo que contradice la primera desigualdad.

Así, si $x, y \in \mathbb R^n$ satisfacer $\nabla f(x) = \nabla f(y)$ entonces $x =y$ .

Answer 2

No. Inténtalo $x \mapsto \mathrm{e}^x$ .