Si T es un operador normal, demuestre que los vectores característicos de T que están asociados a valores característicos distintos son ortogonales.

Question

La cuestión es que Si $T$ es un operador normal, demuestre que los vectores característicos de $T$ que se asocian a valores característicos distintos son ortogonales.

mi prueba es,
dejar $W_i=$ espacio de vectores propios asociado al valor propio $c_i$
cada $W_i$ es invariable bajo $T^*$

¿Podría dar una pista para este problema?
y
¿Está bien que el espacio no sea finito?

Answer 1

Supongamos que $T(u)=\lambda u$ y que $T(v)=\mu v$ con $\lambda\neq\mu$ ; quiere demostrar que $\langle u,v\rangle=0$ . Bueno, \begin{align*}\lambda\langle u,v\rangle&=\langle T(u),v\rangle\\&=\langle u,T^*(v)\rangle\\&=\langle u,\overline{\mu}v\rangle\\&=\mu\langle u,v\rangle.\end{align*} Desde $\lambda\neq\mu$ , $\langle u,v\rangle=0$ .