integración de una función holomorfa en un bucle

Question

Dejemos que $f: D(0,1) \rightarrow \mathbb{C}$ sea continua y holomorfa en $D(0,1) \setminus \left]0,1\right[$

Debo probarlo:

• para todos $a,b,c \in D(0,1): \int_{[a,b,c,a]}f(z) \, dz=0$ .

Lo que hice:

$$\int_{[a,b,c,a]} f(z) \, dz= \int_{[a,b,c,a]} f(z) \, dz=\int_a^b f(z) \, dz + \int_b^c f(z)\,dz+\int_c^a f(z) \, dz = 0.$$

Debe ser válido en el análisis real, pero no he utilizado la propiedad holomórfica de $f$ Así que algo falta en mi trabajo.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Muchas gracias.

Answer 1

No veo por qué la suma de estas integrales debe ser $0$ . No aportas ningún argumento para ello (de ahí que sea difícil ver en qué fallaría ese argumento por arbitrario $f$ ).

Probablemente, ya sabes $$\int_{[a, b, c, d]} g(z) \,\mathrm{d}z = 0 $$ si $g: U \to \mathbb C$ es holomorfo y el triángulo se encuentra completamente en $U$ .

Por lo tanto, si el triángulo no se cruza con $]0, 1[$ No es necesario que muestre nada.

Supongamos que la intersección de $[a, b, c, d]$ y $]0, 1[$ es un solo punto, es decir, una esquina del triángulo, digamos $a$ . Puedes dividir el triángulo en tres triángulos más pequeños: Uno con esquina $a$ y la circunferencia $\le \varepsilon$ y dos que yacen completamente en $D(0, 1) \setminus ]0, 1[$ . La primera integral es como máximo $\varepsilon \sup_{z \in \Delta} |f(z)|$ mientras que los dos últimos son $0$ .

Los casos en los que las intersecciones son dos puntos o una línea pueden tratarse de forma similar.

Answer 2

Es de suponer que al establecer su suma de tres integrales igual a cero, ha dicho algo así como $$\int_{a}^{b} f(z)dz + \int_{b}^{c} f(z)dz + \int_{c}^{a} f(z)dz = \int_{a}^{a} f(z)dz = 0$$ Si $z$ fuera real, esto sería perfectamente legítimo. En el caso de las integrales complejas, la integral dependerá en general del camino que se elija para integrar. Por ejemplo, si $C$ es un círculo de radio $1$ con centro $0$ entonces $$\int_{C} \frac{1}{z} dz = 2\pi i$$ aunque esto podría escribirse como $$\int_{1}^{1} \frac{1}{z} dz$$ si asumimos que la integral sólo depende de los puntos finales. Si entonces se queja de que $C$ no está formada por líneas rectas, eso todavía no lo arregla, porque la misma integral (con $C$ sustituido por cualquier triángulo que contenga $0$ ) sigue evaluando a $2\pi i$ .

Probablemente sea mejor no utilizar el $\int_{a}^{b}$ cuando te refieras a integrales complejas, al menos hasta que sepas qué teoremas son válidos en el caso real y cuáles en el caso complejo. La holomorficidad de $f$ en una región $U$ te dice que la integral sobre cualquier triángulo en $U$ desaparecerá, pero este hecho no es realmente obvio.