Es el eigespacio de una matriz $A$ igual a su espacio de columna?

Question

Dejemos que $A \in \Bbb R^{n\times n}$ . Dejemos que $C(A)$ denotan el espacio de columnas de $A$ y $E(A)$ denotan el eigespacio, que es la extensión de todos los vectores propios de $A$ . Ahora estoy tratando de ver si $C(A)=E(A)$ .

Denote $\{z_1,\ldots,z_m\}$ como los vectores propios de $A$ . Entonces $Az_i =\lambda_iz_i$ . Desde $Az_i\in C(A)$ tenemos $z_i \in C(A)$ . Así, $E(A)\subset C(A)$ . Ahora bien, si $A$ no es singular, $E(A) = \Bbb R^n$ y como $C(A) \subset \Bbb R^{n}$ tenemos que $E(A)=C(A)$ .

Pero en el caso de que $A$ es singular, ¿qué podemos concluir entonces, si es que hay algo? Gracias.

Answer 1

Esto es falso en general: tome cualquier matriz invertible $A$ . Entonces $C(A)=\mathbf R^n$ . Pero si la matriz no es diagonalizable, hay menos de $n$ vectores propios linealmente independientes, de modo que el tramo de todos los vectores propios es un estricto subespacio de $\mathbf R^n$ .

Answer 2

La matriz $A=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$ no tiene ningún vector propio real, por lo que el tramo de los vectores propios es el $\{0\}$ subespacio, mientras que el espacio de columnas es $\mathbb{R}^2$ .

La pregunta sólo tiene sentido si trabajamos en $\mathbb{C}$ en lugar de en $\mathbb{R}$ . En este caso, si $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ son los valores propios distintos por pares de $A$ podemos escribir $$ E(A)=E(A;\lambda_1)\oplus\dots\oplus E(A;\lambda_k) $$ donde $E(A;\lambda)=\{v\in\mathbb{C}^n: Av=\lambda v\}$ .

En primer lugar, vamos a suponer $0$ no es un valor propio de $A$ Entonces $A$ es invertible y su espacio de columnas es $C(A)=\mathbb{C}^n$ Así que $E(A)=C(A)$ equivale a decir que $A$ es diagonalizable.

En caso de que $0$ es un valor propio de $A$ La situación es más complicada.