¿Una forma inteligente de simplificar la suma?

Question

¿Hay alguna forma inteligente de reescribir la suma

$$\sum_{i=2}^{n} (x_i-x_{i-1})\left(\frac{(x_i-x_{i-1})}{2}-x_i \right) ?$$

Hasta ahora no he podido encontrar nada útil.

Answer 1

Observe que $$(a-b)\left(\frac{a-b}{2}-a\right)=(a-b)\cdot\left(\frac{-a-b}{2}\right)=\frac{1}{2}(b^2-a^2)$$ para que $$\sum_{i=2}^{n} (x_i-x_{i-1})\left(\frac{(x_i-x_{i-1})}{2}-x_i \right)=\frac{1}{2}\sum_{i=2}^n(x_{i-1}^2-x_i^2)=\frac{1}{2}(x_1^2-x_n^2)$$