Función de masa de probabilidad del entero más próximo de la relación de variables aleatorias uniformes

Question

Dados dos números aleatorios $X$ y $Y$ entre 0 y 1 definen $Z$ para ser el número entero más cercano a $X/Y$ . Sé cuál es la relación de dos variables aleatorias uniformes (es decir, conozco su PDF y su CDF). Sin embargo, trabajar con esto no me ha llevado a ninguna parte para encontrar la PMF anterior. He hecho varios dibujos pero no consigo generalizar el resultado para ninguna $X$ y $Y$ . Cualquier ayuda es muy apreciada. Esto fue dado como un ejercicio en la clase (para ser hecho antes del próximo período y luego discutido en la clase) y quería estar preparado para la discusión durante el próximo período de clase. Creo que hay algunos casos diferentes como cuando $Y \geq 1/2$ y cuando $Y<1/2$ . pero nunca puedo obtener un valor conciso para intervalos diferentes.

Answer 1

Un truco es reducir todo a los dominios incluidos en $[0,1]\times[0,1]$ . Entonces se puede utilizar repetidamente el hecho de que, para cada $0\leqslant a\leqslant b\leqslant1$ los acontecimientos $U(a,b)=[aX\leqslant Y\leqslant bX]$ y $V(a,b)=[aY\leqslant X\leqslant bY]$ tienen probabilidad $E[(b-a)Y]=E[(b-a)X]=\frac12(b-a)$ (nótese la condición de que $a$ y $b$ son ambos en $[0,1]$ Si no es así, el resultado falla). Por lo tanto:

• El evento $[\color{green}{\mathbf{K=0}}]=[\frac{X}Y\lt\frac12]=[X\lt\frac12Y]=V(0,\frac12)$ tiene probabilidad $\frac12(\frac12-0)=\color{red}{\mathbf{\frac14}}$ .
• Por cada $\color{green}{\mathbf{k\geqslant2}}$ El evento $[\color{green}{\mathbf{K=k}}]=[k-\frac12\lt\frac{X}Y\lt k+\frac12]$ es $[a_kX\lt Y\lt b_kX]=U(a_k,b_k)$ con $a_k=\frac1{k+\frac12}$ y $b_k=\frac1{k-\frac12}$ por lo que tiene probabilidad $\frac12(b_k-a_k)=\color{red}{\mathbf{\frac2{4k^2-1}}}$ .
• Para calcular la probabilidad de $[\color{green}{\mathbf{K=1}}]$ , o bien se suman las otras probabilidades y se completa la suma a $1$ o se observa que $[K=1]=[\frac12\lt\frac{X}Y\lt\frac32]$ es la unión disjunta de los eventos $[\frac12Y\lt X\lt Y]=V(\frac12,1)$ y $[\frac23X\lt Y\lt X]=U(\frac23,1)$ por lo que la probabilidad del evento $[K=1]$ es $\frac12(1-\frac12)+\frac12(1-\frac23)=\color{red}{\mathbf{\frac5{12}}}$ .

Comprobación de cordura: $$ \frac14+\frac5{12}+\sum_{k=2}^\infty\frac2{4k^2-1}=1. $$

Answer 2

Una pista: $P\left\{ K=k\right\} =P\left\{ \left(k-\frac{1}{2}\right)Y<X<\left(k+\frac{1}{2}\right)Y\right\} =\underset{S}{\int\int}dxdy$ para $S=\left\{ \left(x,y\right)\in\left(0,1\right)^{2}\mid\left(k-\frac{1}{2}\right)y<x<\left(k+\frac{1}{2}\right)y\right\} $