¿Cuáles son las operaciones de los cuaterniones como anillo de división?

Question

Cuando estudié los cuaterniones en teoría de grupos sólo se definía el producto

Ahora estudiando anillos, mis notas dicen que los cuaterniones son un anillo de división, Pero esto significa que debemos tener 2 operaciones: suma y producto. ¿Cómo se definen las operaciones entonces?

Answer 1

Por desgracia, hay un par de estructuras que se denominan "los cuaterniones" en el álgebra abstracta, lo que sin duda es la fuente de tu confusión. Parafraseando a Hendrik Lenstra, no me culpes por la mala nomenclatura: Yo no he creado esta parte del mundo...

En teoría de grupos, "los cuaterniones" o el "grupo de cuaterniones de orden $8$ " suele referirse al grupo $$Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$$ con la multiplicación dada por las reglas $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ (y las obvias multiplicaciones por $1$ y $-1$ ).

Sin embargo, en la teoría de los anillos, los cuaterniones (también conocidos como "los cuaterniones reales", o "los hamiltonianos", o simplemente como $\mathbb{H}$ ) son los objetos de la forma $$a + bi + cj + dk,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{R}$$ con la adición dada por $$\Bigl( a+bi+cj+dk\Bigr) \oplus \Bigl( r+si+tj+vk\Bigr) = (a+r) + (b+s)i + (c+t)j + (d+v)k,$$ y la multiplicación dados como si fueran polinomios utilizando las reglas de $Q_8$ para multiplicar $i$ , $j$ y $k$ entre sí. Así, $$\begin{align*} (a+bi+cj+dk)\odot (r+si+tj+vk) &= (ar - bs - ct - dv)\\ &\quad + (as + br + cv - dt)i\\ &\quad + (at + cr + ds - bv)j \\ &\quad+ (av + dr + bt - cs)k. \end{align*}$$ A continuación, debe comprobar que esto se convierte en $\mathbb{H}$ en un anillo, y que si $a^2+b^2+c^2+d^2\neq 0$ entonces $$(a+bi+cj+dk)^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\Bigl( a-bi-cj-dk\Bigr),$$ lo que significa que tienes un anillo de división que no es un campo.

Puedes pensar en ellos como sumas formales, o puedes representarlos con matrices adecuadas (al igual que los números complejos pueden ser pensados como sumas formales, matrices, pares ordenados, etc). Hay algunas construcciones de ellos. En realidad, éstas son las originales, inventadas/descubiertas por Hamilton, que dieron lugar a su vandalismo en el puente .

Obviamente, la estructura aditiva de $\mathbb{H}$ también es un grupo, aunque uno abeliano que es simplemente isomorfo a $\mathbb{R}^4$ . Puede restringir los coeficientes a cualquier subcampo de $\mathbb{R}$ y aún así conseguir un anillo de división.

Answer 2

El cuaternión $q=a+bi+cj+dk$ con $a,\,b,\,c,\,d\in\Bbb R$ tiene conjugado $q^\ast=a-bi-cj-dk$ Satisfaciendo a $qq^\ast=q^\ast q=a^2+b^2+c^2+d^2$ que es positivo a menos que $q=0$ . Así que dividimos como $q_1/q_2=(q_1q_2^\ast)/(q_2q_2^\ast)$ siempre que $q_2\ne0$ . Mientras que $(q_1/q_2)q_2=q_1$ , en general $$q_2(q_1/q_2)=(q_2q_1q_2^\ast)/(q_2q_2^\ast)\ne(q_1q_2q_2^\ast)/(q_2q_2^\ast)=q_1.$$ Sin embargo, $(1/q_2)q_2=q_2(1/q_2)=1$ , por lo que los cuaterniones son un anillo de división pero no un campo.

En el grupo de cuaterniones La definición de división anterior da resultados como $1/i=-i,\,i/j=-k,\,i/k=j$ . Obsérvese, en particular, que todos los $8$ los elementos son invertibles, pero no es un anillo porque no es cerrado bajo adición. En efecto, El pequeño teorema de Wedderburn implica que los anillos de división finitos conmutan.