Factorización de primos en campo cúbico puro

Question

Supongamos que $K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{ab^2})$ , donde $a$ es libre de cuadrados. Sea $p$ sea un número primo, ¿cómo se determina la factorización primaria de un ideal $p O_K$ ?

Por el teorema de Kummer, si $O_K = \mathbb{Z}[\alpha]$ podemos determinarlo mediante la factorización del polinomio de $\alpha$ .

Pero no estaba seguro de cómo saber si $O_K$ puede escribirse como $\mathbb{Z}[\alpha]$ ?

Por la respuesta de abajo, parece que $O_K$ no siempre tiene la forma $\mathbb{Z}[\alpha]$ ¿Cómo podemos determinar entonces la factorización de los primos?

Answer 1

Un campo numérico $K$ se llama monogénico (o se dice que tiene un base integral de potencia ), si su anillo de enteros tiene la forma $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]$ para algunos $\alpha\in \mathcal{O}_K$ . El criterio de los campos numéricos cúbicos $K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{ab^2})$ con $gcd(a,b)=1$ y $ab^2$ cubefree es el siguiente: Si $a^2\not\equiv b^2 \bmod 9$ entonces $K$ es monogénica si y sólo si $ax^3 + by^3 = 1$ tiene una solución integral. En el otro caso, si $a^2 ≡ b^2 \bmod 9$ , $K$ es monogénica si y sólo si $ax^3 +by^3 = 9$ tiene una solución integral.

Referencia: El libro Ecuaciones diofantinas y bases integrales de potencia por István Gaál, Birkhauser, 2002.