Por cada $n$ -polígono equiangular de lados, defina $f(n)$ para ser el número máximo de lados consecutivos cuyas longitudes se pueden elegir sin determinar de forma única el polígono. Encuentra los dos últimos dígitos de: $$\sum_{n=3}^{2019} f(n)$$
¿Puede alguien verificar esto? Creo que $(n-3)$ funciona, y lo he publicado en AOPS, pero el tipo dice que está mal.
Esta es la solución:
Respuesta : $36$ , $f(n)=n-3 $
claramente para cualquier $n , n-2$ no satisface porque entonces la propiedad equiangular fija el polígono.
Para $n=3, 4$ , claramente $f(n)=n-3$ trabaja . Para $n\ge 5$ Considere la siguiente construcción, que tomé para $n=7$ ( pero se puede entender cuál es la construcción) . Es sólo extender $2$ lados y haciendo un lado paralelo . Así que $n-3$ consecutivos no se arregla.
Así que $n-3$ trabaja .
Y la respuesta es $\frac{2016\cdot 2017}{2}=2033136 \equiv 36 \pmod {100}$
Aquí está la solución del otro tipo, que mucha gente está diciendo que es cierto : Triángulo equilátero que es regular, cuadrado pero podemos tener un rectángulo, pentágono donde todos sus lados son iguales y así sucesivamente. Entonces veo un patrón. Esta fue la observación crucial.
En la Geometría Euclidiana, si tenemos un polígono equiangular con lados Impares entonces todos los lados serán iguales, es decir, será un polígono regular. Así, tenemos los polígonos regulares con longitudes de lado $3,5,\cdots$ y así sucesivamente. En este caso podemos elegir sólo uno de sus lados y todos los lados se elegirán automáticamente ya que es un polígono equiangular y por tanto regular. Por lo tanto, $f(n)=\boxed{1}$ , en el caso de que tengamos un polígono equiangular con lados Impares. Ahora vemos lo que ocurre cuando elegimos un polígono equiangular con lados Impares, por lo que podemos elegir la mitad de los lados del polígono(estos tienen que ser lados consecutivos). Por lo tanto $f(n)=\frac{n}{2}$ en el caso de que $n=\text{even}$ . $\text{Sum}=(1+2)+(1+3)+(1+4)+\cdots+(1+1009)+1=510553 $ .
Por tanto, los dos últimos dígitos de la suma $\boxed{53}$ .
¿Hay algún fallo en la solución que he escrito?
