Dejemos que $A$ sea un anillo. Sea $I$ , $J$ sean dos ideales de $A$ Las siguientes propiedades son de carácter.

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo. Sea $I$ , $J$ sean dos ideales de $A$ Las siguientes propiedades son de carácter.

(a) El radical $\sqrt[]{\mathstrut I}$ es igual a la intersección de los ideales $\rho$ $\in$ V(I).

(b) Tenemos $V(I)$ $\supseteq$ $V(J)$ si y sólo si $J$ $\supseteq$ $\sqrt[]{\mathstrut I}$

¿Podría alguien ayudarme a probar esto con algunos detalles?

V(I) := { Spec A I }

y el radical de I es el conjunto de elementos $a A$ tal que $a^{n}$ I para algún n 1. Gracias:)

Answer 1

(a): Si $a \in \sqrt{I}$ entonces es la imagen en $A/I$ es nilpotente, por lo que está contenido en todos los ideales primos de $Spec(A/I)$ qué son estos ideales primos, son los ideales primos en $A$ que contiene $I$ es decir $V(I)$ . Lo que implica que si $a \in \sqrt(I)$ entonces $a \in P$ para todos $P$ en $V(I).$ A la inversa, supongamos que $a^n$ no está contenida en $I$ para cualquier $n$ . Construiremos un ideal primo que contenga $I$ pero no $a$ . Dejemos que $\Sigma$ sea el conjunto de ideales que contiene $I$ pero no $a^n$ para cualquier $n$ , fíjese que $\Sigma$ es no vacío como $I$ está en $\Sigma$ . Utilice el lema de Zorn para demostrar que $\Sigma$ contiene un elemento máximo $P$ demostrar que $P$ es un ideal primo (sugerencia: supongamos que $xy \in P$ pero tampoco $x$ ni $y$ están en $P$ , demuestre que entonces ni $(x) + P$ ni $(y) + P$ están en $\Sigma$ y usar esto para demostrar que entonces no podemos tener $xy \in P$ .)

(b): si $J$ no contiene el radical de $I$ entonces $\exists f$ tal que $f^n \in I$ pero $f \notin J$ . Definir $\Sigma$ como en (a), igual que en (a) $\Sigma$ contiene un ideal primo que contiene $J$ pero no $f$ Por lo tanto $P$ está en $V(J)$ pero $P$ no contiene $f^n$ para cualquier $n$ por lo que no contiene $I$ .