¿No perder dinero en una apuesta justa?

Question

Si un corredor de apuestas hace que las probabilidades de pago se correspondan con las probabilidades reales, ¿por qué siempre podemos poner nuestro dinero de tal manera que no perdemos nada de dinero (o ganamos algo)?

Edición: Lo que he dicho arriba no expresa exactamente lo que quería decir. Había una fórmula que vi que era $\frac{1}{r_i+1}$ , donde $r_i$ es de las probabilidades $r_i:1$ para un evento específico. Lo que decía el documento que estaba leyendo es que si $\sum\frac{1}{r_i+1}$ era menor que uno, siempre puedes repartir tu dinero para obtener un beneficio pase lo que pase. Así, en el caso de las carreras de caballos, decía que los corredores de apuestas siempre se aseguran de que la suma sea mayor que uno.

Answer 1

Supongamos que usted apuesta por $n$ diferentes eventos, y las probabilidades dadas por el corredor de apuestas $r_1,\dots,r_n$ son tales que $$ \sum_{i=1}^n\frac{1}{r_i+1}\le1. $$ Entonces, apuesta $1/(1+r_i)$ en cada uno de los resultados $i=1,\dots,n$ . Asumiendo que está citando probabilidades fraccionarias , entonces usted recibe $$ \frac{r_j}{1+r_j}+\frac1{1+r_j}=1, $$ cuando el resultado ganador es $j$ . Además, se pierde $\sum_{i=1}^n\frac{1}{r_i+1}$ cada vez como coste. Por lo tanto, la ganancia final es siempre $$ +1-\sum_{i=1}^n\frac{1}{r_i+1}, $$ que es no negativo por supuesto.

Answer 2

Apuesta en los eventos de tal manera que los importes de las apuestas para el evento i estén en la siguiente proporción: $ x_1 :x_2...:x_n=\frac{1}{r_1+1}:\frac{1}{r_2+1}:...:\frac{1}{r_n+1} $ . Supongamos que invierte un total de $\frac{1}{r_1+1}+\frac{1}{r_2+1}+...+\frac{1}{r_n+1}$ que es menor que uno. Esto simplifica la cantidad de la apuesta en cada evento en ebent i como $\frac{1}{r_i+1}$ . Ahora, tu recompensa esperada= $p_1.(1+r_1)\frac{1}{r_1+1}+....+p_n.(1+r_n) \frac{1}{r_n+1}=p_1+...+p_n=1$ . Por lo tanto, la ganancia esperada es más que su inversión, por lo tanto, el beneficio.

Answer 3

En primer lugar, hay que tener en cuenta que, en la jerga de las apuestas, una apuesta se paga a un ritmo de " $a$ a $b$ " si una apuesta de $b$ produce una cantidad devuelta de $a+b$ . Por ejemplo, si usted apuesta \$1, and on a winning bet you keep your dollar, plus get \$ 2 más, la apuesta se paga a "2 a 1". Pero otra forma de ver la misma situación, matemáticamente más sencilla, es que se paga \$1 up front to enter the game, and this payment is gone forever, but if you win, the bookie pays you a prize of \$ 3. Para convertir estos porcentajes de probabilidades, como "8 a 5", en cantidades de premios, se añade 1, que representa la cantidad de su apuesta original que se devuelve. (Aquí es donde el $+1$ al entrar en la fórmula que citas). Así que las probabilidades de 8 a 5 significan que el importe del premio para un \$1 entry fee is $ \frac85+1 = \frac{13}5$. "Even money" es la jerga de los corredores de apuestas para las probabilidades de 1 a 1.

Ahora supongamos que el juego tiene $k$ resultados posibles (caballos, por ejemplo) que ocurren con probabilidades $p_1, p_2,\ldots, p_k$ respectivamente, donde $$\sum p_i = 1.$$ Supongamos además que cuando el evento $i$ ( $1\le i\le k$ ) se produce, el importe del premio pagado por el amable corredor de apuestas por un \$1 entry fee is $ \frac1{p_i} $. (That is, if the probability of the event occurring was $ \frac ab $, the bookie will pay off a prize amount of $ \frac ba $, or, in the language of odds, will pay off bets at $ b-a $ to $ a$.)

Por ejemplo, suponga que apuesta \$1 on event 7, which occurs with probability $ |frac14 $. Then if event 7 actually occurs, which it does one-quarter of the time, the bookie keeps your \$ 1 y te paga $\frac1{\frac14} = \$ 4 $. (That is payoff odds of three to one.) If some other event occurs, the bookie still keeps your \$ 1 y no obtienes nada a cambio.

Ahora puedes conseguir una recompensa garantizada de la siguiente manera: Para cada evento $i$ , apostar $\$ p_i $. Your total bet is therefore $ \N - suma p_i = \$1$ . Su pago $P_i$ si el evento $i$ se produce es entonces $$\$ p_i \cdot \frac1{p_i} = \$1$$ donde el $p_i$ a la izquierda es la cantidad que se apuesta en el evento $i$ y el $\frac1{p_i}$ es la tasa a la que el corredor de apuestas le paga. Así que si el evento $i$ se produce, se recupera una cantidad exactamente igual al 1$ que se ha apostado.

Por ejemplo, supongamos que apostamos en una carrera de caballos con tres caballos, $A, B,$ y $C$ que ganan con probabilidades $\frac12, \frac13,$ y $\frac16$ respectivamente; para cada \$1 bet on horse $ A $, the bookie will pay a prize of \$ 2 si se trata de un caballo $A$ gana, que es dinero parejo. Del mismo modo, por cada \$1 paid as entry fee to bet on $ B $, the bookie will pay \$ 3 si se trata de un caballo $B$ gana, lo que supone una probabilidad de 2 a 1, y por cada \$1 paid as entry fee to bet on $ C $, the bookie will pay \$ 6 si el caballo $C$ gana, lo que supone una probabilidad de 5 a 1.

Entonces su estrategia es apostar $50¢$ en $A$ , $33\frac13¢$ en $B$ y $16\frac23¢$ en $C$ . Las tres apuestas suman \$1 and in any event the bookie keeps the whole $\$1$ . Pero si $A$ gana obtenemos un premio de $50¢\cdot 2 = \$ 1 $; if $ B $ wins we get a prize of $ 3\cdot33\frac13¢ $, totalling \$ 1, y si $C$ gana obtenemos un premio de $6\cdot16\frac23 = \$ 1$. Así que cada resultado nos devuelve nuestro dólar.

Para un ejemplo quizá más instructivo, considere una ruleta con 18 números rojos, 18 números negros y un 0 y un 00 verdes. Las apuestas al rojo o al negro se pagan a un ritmo de $\frac{38}{18}$ (en la jerga de las apuestas, esto es diez a nueve), y las apuestas al 0 o al 00 pagan un premio de $38$ (en la jerga de las apuestas esto es treinta y siete a uno.) Entonces podemos apostar $\$ \frac{18}{38} $ on each of red and black, and $\$\frac1{38}$ en el 0 y el 00. Tenga en cuenta que Las Vegas en realidad paga las apuestas al rojo y al negro a dinero parejo, que es $\frac 21 < \frac{38}{18}$ y en realidad paga las apuestas a 0 y 00 en $36$ (es decir, treinta y cinco a uno) en lugar de a $38$ .