Si topología débil y topología débil* en $X^*$ de acuerdo, debe $X$ ser reflexivo?

Question

Sea $X$ sea un espacio de Banach y supongamos que la topología débil sobre $X^*$ coincide con la topología débil* de $X^*$ . Debe $X$ ser reflexivo?

Para demostrar la contrapositiva, bastará con suponer que $X$ no es reflexiva y construir una secuencia $\phi_n \in X^*$ tal que $\phi_n(x) \rightarrow \phi(x)$ para cada $x\in X$ pero $\lambda(\phi_n)\not\rightarrow \lambda(\phi)$ para alguna fucnión lineal acotada $\lambda$ en $X^*$ . Sin embargo, he sido incapaz de hacerlo. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

5PM y Haskell Curry señalaron que se trata de un corolario de Teorema de Goldstine .

1. Un espacio de Banach $X$ es reflexivo si y sólo si su bola unitaria cerrada $B$ es débilmente compacta.

   Pruebas: Supongamos $B$ es débilmente compacta. La incrustación canónica $I\colon X \to X^{\ast\ast}$ es un homeomorfismo de $X$ con la topología débil a $I(X)$ con la topología relativa débil*. Por el teorema de Goldstine $I(B)$ es débil*-denso en $B^{\ast\ast}$ y es compacta ya que $I$ es continua. Dado que la topología débil* es Hausdorff, $I(B)$ es por lo tanto cerrado y por lo tanto es todo de $B^{\ast\ast}$ . De ello se deduce que $I\colon X \to X^{\ast\ast}$ es suryectiva. La otra dirección es una consecuencia del teorema de Alaoglu.

2. Supongamos que las topologías débil y débil* en $X^\ast$ coinciden. Por el teorema de Alaoglu la bola unitaria en $X^\ast$ es débil $^\ast$ -y por tanto es débilmente compacta, por lo que $X^\ast$ es reflexivo por 1.

3. Un espacio de Banach $X$ es reflexivo si y sólo si $X^\ast$ es reflexivo.

Answer 2

Sea $J : X \longrightarrow X^{**}$ sea la incrustación natural de $X$ en $X^{**}.$ Supongamos que la topología débil y la $^{*}$ -topología en $X^*$ coincide, es decir $\sigma (X^*, J(X)) = \sigma (X^*, X^{**}).$ A continuación, cada $\xi \in X^{**}$ siendo continua con respecto a la topología débil $\sigma (X^*,X^{**})$ en $X^*$ serán continuas con respecto a la débil $^{*}$ -topología $\sigma(X^*,J(X))$ en $X^*.$ Es decir $\xi \in \text {span}\ (J(X)) = J(X).$ Así que tenemos $X^{**} \subseteq J(X),$ demostrando que $J(X) = X^{**}$ es decir $X$ es un espacio lineal normado reflexivo, como se requiere.

Obsérvese que la exhaustividad de $X$ es superfluo aquí. El argumento anterior funciona bien para cualquier espacio lineal normado arbitrario. Además, el argumento anterior no implica el teorema de Banach-Alaoglu.