Entiendo más o menos la definición de secuencia espectral y soy consciente de que es una herramienta indispensable en la geometría algebraica y la topología modernas. Pero, ¿por qué es así y qué se puede hacer con ella? En otras palabras, si uno intentara hacer todo sin secuencias espectrales y sólo usando argumentos más elementales, ¿por qué haría las cosas más difíciles?
Respuestas
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Digamos que tiene una resolución $0\to A\to J^0\to J^1\to\dots$ (de un módulo, una gavilla, etc.) Si $J^n$ son acíclicos (es decir, tienen cohomología superior trivial, resp. functores derivados $R^nF$ ), se puede utilizar esta resolución para calcular las cohomologías de $A$ (resp. $R^nF(A)$ ). Si $J^n$ no son acíclicas, se obtiene en su lugar una secuencia espectral, y eso es lo mejor que se puede hacer.
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Supongamos que tenemos dos functores $F:\mathcal A\to\mathcal B$ y $G:\mathcal B\to \mathcal C$ . Supongamos que conoce los functores derivados para $F$ y $G$ y quisiera calcularlos para la composición $GF$ . Contesta: La secuencia espectral de Grothendieck.
1 y 2 explican la inmensa mayoría de las aplicaciones de las secuencias espectrales, y proporcionan una motivación de sobra, estoy seguro de que estará de acuerdo.
La razón de las secuencias espectrales en ambos casos es la misma. Intuitivamente, $A$ en el caso 1 (resp. $F(A)$ en el caso 2) se compone de partes que no son a su vez elementales. En su lugar, están hechas (mediante una filtración adecuada) de otros objetos elementales "acíclicos".
Por tanto, se trata de un proceso de dos pasos. Se puede hacer el primer paso y el segundo por separado, pero no son exactamente independientes el uno del otro. Por el contrario, están entrelazados de alguna manera. La secuencia espectral le da una manera de lidiar con esta situación.
MortenSickel
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Permítanme intentar responder primero a una pregunta más sencilla:
¿Por qué secuencias exactas largas ¿tan omnipresente?
Casi todo lo que se escribe con mayúscula seguida de un subíndice. i o superíndice -i i un número entero, y finalmente algunas cosas entre paréntesis, puede interpretarse como π i de algún espectro (o a veces espacio, como en la cohomología de grupos no abelianos, o quizá una gavilla de espectros o espacios...). Y casi cualquier secuencia exacta larga que incluya tres términos similares en un ciclo, con i decreciente en 1 cada tres términos, procede de la larga sucesión exacta de grupos de homotopía de una sucesión de fibras de espectros o espacios. Por ejemplo, la secuencia exacta larga para la cohomología de un grupo G con coeficientes en una secuencia exacta corta de G-módulos A → B → C corresponde a (HA) hG → (HB) hG → (HC) hG ya que H -i (G, M) = π i ((HG) hM ) (que es distinto de cero sólo para i no positivo), que es una secuencia de fibras porque HA → HB → HC es una (ya que A → B → C es un SES) y (-) hG es un límite de homotopía, por lo que preserva las secuencias de fibras. O bien, podría dibujar un cuadrado con estos tres términos en ella y 0 en la parte inferior izquierda, que es a la vez un pullback y pushout cuadrado (desde espectros forman un estable (∞,1)-categoría).
Las secuencias exactas largas son en realidad un caso especial de las secuencias espectrales: aquellas cuya E 1 sólo tiene dos columnas. Si nunca ha hecho esto antes, debería comprobar por sí mismo que el d 1 y los problemas de extensión exacta te dicen que hay una sucesión exacta larga formada por las dos columnas y a lo que converja la sucesión espectral. Esto sugiere que podríamos intentar generalizar la imagen con un cuadrado de espectros pushout/pullback para encontrar algo a lo que corresponda una secuencia espectral más general. Dos posibilidades son: podríamos extender la fila superior del cuadrado a una secuencia dirigida de espectros, y tomar la cofibra homotópica de cada mapa; o podríamos extender la columna derecha del cuadrado a una secuencia inversa de espectros y tomar la fibra de cada mapa. Éstas son la versión homotópica de los objetos filtrados y cofiltrados, respectivamente; sin embargo, no existe ninguna condición sobre los mapas (la noción de "inclusión" no tiene mucho sentido en el mundo homotópico-teórico). Asociada a cada una hay una secuencia espectral, aunque hay problemas de convergencia cuando la secuencia de espectros es infinita. Es posible que la mayoría de las secuencias espectrales que se encuentran en la práctica puedan considerarse derivadas de una secuencia subyacente de espectros, aunque no he intentado convencerme de ello.
Edición: Clark Barwick sugiere que, efectivamente, se puede considerar que todas las secuencias espectrales "naturales" proceden de espectros filtrados. A él y a mí nos gustaría saber si hay algún contraejemplo convincente, así que por favor, ¡dime si tienes alguno! Nótese sin embargo que 1 y 2 de la respuesta de VA no son contraejemplos.
Leon Bambrick
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Todavía no tengo la sensación de entender a un nivel intuitivo qué "es" o qué "significa" una secuencia espectral. Pero he aquí una bonita explicación que he oído sobre cómo surge en topología una secuencia espectral concreta (la secuencia espectral de Serre).
- Los grupos de homotopía se comportan bien con respecto a los productos: $\pi_n(X\times Y) \cong \pi_n(X) \times \pi_n(Y)$ .
- Los grupos de homotopía no se comportan tan bien con respecto a las fibraciones (= "productos retorcidos"): en lugar de un isomorfismo se obtiene una larga secuencia exacta.
Los grupos de homotopía son geniales, pero a menudo son difíciles de calcular. La (co)homología es más fácil de calcular, pero tampoco se comporta tan bien en productos y fibraciones.
- La homología no preserva del todo los productos (es decir, los lleva a productos tensoriales)--casi lo hace, pero en general existe el teorema de Künneth que los relaciona mediante un SES.
- Por lo tanto, cuando se aplica la homología a una fibración, se debe esperar obtener algo que tenga tanto los problemas de una secuencia exacta larga como los problemas del teorema de Künneth. Este "algo" es una secuencia espectral.
AngryHacker
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Siempre que se tenga una secuencia de mapas de grupos abelianos (quizás gradados)
$$ \cdots \to A^0 \to A^1 \to A^2 \to \cdots $$
y cada par $A^{p-1} \to A^p$ está implicada en una secuencia exacta larga con tercer término $C^p$ existe una sucesión espectral cuyos términos son los grupos $C^p$ . Si la secuencia acaba estabilizándose en ambos extremos (o muchas variantes de hipótesis más débiles), la secuencia espectral detecta la diferencia entre el límite y el colímite. Por ejemplo, si se tiene un espacio filtrado por subespacios, o un complejo en cadena filtrado por subcomplejos, o alguna secuencia arbitraria de mapas componibles en una categoría triangulada, surge este tipo de estructura.
La herramienta central introducida por el álgebra homológica es la secuencia exacta larga, y la secuencia espectral ha demostrado ser una herramienta organizativa extremadamente útil siempre que se tienen dos o más secuencias exactas largas que se entrelazan; la alternativa suele ser simplemente trabajar con las secuencias exactas largas una a una. Ha dado lugar a gran parte de la metodología en topología algebraica, en la que se puede tomar un cálculo difícil que se parece aproximadamente a una estructura que se puede manejar, y manejar primero la parte "fácil" con las cuestiones difíciles codificadas por las diferenciales y extensiones en la secuencia espectral.
