Teorema del índice de Atiyah-Singer

Question

Cada año, más o menos, intento aprender "realmente" el teorema del índice de Atiyah-Singer. Siempre me doy cuenta de que me rindo porque mi formación en análisis es demasiado débil: la mayoría de las fuentes dedican mucho tiempo a discutir la topología y el álgebra, pero muy poco al análisis. Pregunta: ¿hay alguna fuente "divertida" para leer sobre las partes apropiadas del análisis?

Answer 1

También soy bastante débil en el fondo de análisis, pero encontré el papel original bastante legible.

Answer 2

También hay una prueba "física" del teorema del índice. (No, en serio, ¡sigue leyendo!) Adjunto a toda teoría cuántica de campos supersimétrica (o incluso a la mecánica cuántica) hay algo llamado el índice Witten . Existen sistemas mecánicos cuánticos para los que el índice de Witten coincide con el índice de un operador elíptico (formado por las supercargas de la teoría). No es difícil argumentar que el índice de Witten tiene una propiedad de invariancia de homotopía que permite calcularlo en diferentes regímenes de "temperatura". A temperatura infinita, simplemente cuenta la diferencia entre las dimensiones del núcleo y el cíngulo del operador elíptico, mientras que a temperatura cero puede evaluarse para dar una fórmula integral para el índice en términos de clases características. Esto se puede hacer riguroso y los detalles se pueden encontrar este documento de Getzler .

Answer 3

Si tienes acceso a las obras recopiladas de Atiyah en tu biblioteca, intenta echarles un vistazo. Hay algunas conferencias transcritas y breves artículos expositivos en los que explica el contexto y la motivación de los teoremas. (Si no recuerdo mal, están clasificados como miscelánea y aparecen en el primer volumen, pero puede que también haya algunos en el segundo. No lo tengo a mano para comprobarlo).

Escribe maravillosamente, y en mi caso, no sentí que "entendía" el teorema del índice hasta que leí esto.

EDIT: Oops, no he leído tu pregunta con suficiente atención: estás buscando sobre todo la parte del análisis. En ese caso, me limitaría a recomendar el capítulo correspondiente de Warner o Wells.

Answer 4

La obra de Liviu Nicolaescu " Conferencias sobre la Geometría de los Múltiples "tiene un largo capítulo sobre los operadores diferenciales en las variedades, incluyendo los operadores elípticos.

Answer 5

Quizás también le guste

"Núcleos de calor y operadores de Dirac" por Nicole Berline,Ezra Getzler,Michèle Vergne
(ver el enlace de google books aquí )

Quizás no el teorema del índice de Atiyah-Singer "completo", sino el de los operadores de Dirac. Así que si eres más un geómetra diferencial que un "tipo de análisis", creo que esta es una referencia apropiada.
( EDIT: Como ha comentado José Figuera-O'Farril, el AS de los operadores de Dirac debería ser suficiente para obtener el AS de los operadores elípticos )

Además otro libro de Gilkey (comparar el post de José Figueroa-O'Farrill y el comentario de Ryan Budney) debería ser muy legible:
Teoría de la invarianza, la ecuación del calor y el teorema del índice de Atiyah-Singer por Peter B. Gilkey