Teorema del índice de Atiyah-Singer

Question

Cada año, más o menos, intento aprender "realmente" el teorema del índice de Atiyah-Singer. Siempre me doy cuenta de que me rindo porque mi formación en análisis es demasiado débil: la mayoría de las fuentes dedican mucho tiempo a discutir la topología y el álgebra, pero muy poco al análisis. Pregunta: ¿hay alguna fuente "divertida" para leer sobre las partes apropiadas del análisis?

Answer 1

Encontré a Booss, Bleecker: "Topología y análisis, la fórmula del índice de Atiyah-Singer y la física de la teoría gauge" ( revisar ) muy bonito y lo había leído sólo por diversión. Es una pieza muy bonita de exposición, motiva todo y exige del lector muy poco conocimiento previo.

Answer 2

Es necesario comprender los operadores pseudodiferenciales si se quiere entender el enunciado original del teorema completo del índice de Atiyah-Singer. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones a la geometría diferencial, sólo se necesita el teorema para los operadores de Dirac retorcidos. (Uno de los principales resultados de Atiyah y Singer es que el teorema de periodicidad de Bott -o más bien, su generalización a los haces vectoriales, el teorema de isomorfismo de Thom para la teoría K- reduce el caso general al de los operadores de Dirac retorcidos).

Si quieres aprender la teoría de los operadores pseudodiferenciales, te recomiendo los artículos originales de Kohn y Nirenberg y Hörmander . Esta teoría no es necesaria para demostrar el teorema del índice de Atiyah-Singer: se puede salir al paso con la existencia de una solución asintótica de la ecuación del calor. Para ver esto en acción, véase el artículo de McKean y Singer .

Una ventaja del enfoque del núcleo de calor es que está bien adaptado para estudiar las generalizaciones de la teoría, como la teoría de la torsión analítica y el teorema del índice de la familia.

Answer 3

Sé que puede parecer algo "antiguo", pero las notas del "Seminario sobre el teorema del índice de Atiyah-Singer" de la IAS de 1965 (publicado por Princeton Univ. Press) pueden ser justo lo que está buscando, ya que cubre toda la maquinaria analítica con gran detalle. Fue escrito para ser fácilmente accesible a un estudiante de posgrado de matemáticas que tuviera un curso de análisis básico.

Answer 4

La primera vez que conocí el teorema del índice de Atiyah-Singer fue en las notas de Springer de Shanahan (638). Me gustó porque, a la vez que desarrollaba la teoría principal, repasaba los ejemplos estándar (Dirac, Dolbeaut, de Rham, firma) con cierto detalle. En aquel momento me interesaba sobre todo utilizar la teoría de índices, así que no me preocupaban tanto los detalles de la demostración, pero al menos hace un esbozo de la demostración (puede que haga más, no lo recuerdo y no tengo una copia en mis estanterías), pero recuerdo que aparecen las palabras "operador pseudodiferencial", lo que sugiere que, aunque sea a grandes rasgos, los puntos principales están ahí. También cubre la teoría equivariante.

Otro lugar donde se pone en contexto es Spin Geometry de Lawson y Michelsohn. Está muy bien porque toda la teoría de los operadores de Dirac y las álgebras de Clifford se desarrolla desde cero, así que hay muchos "puntos de entrada" dependiendo de si eres más bien un algebrista o un geómetra u otro.

Números MR:

• El teorema del índice de Atiyah-Singer: MR487910
• Geometría del espín: MR1031992

Answer 5

El capítulo 4 de "Differential Analysis on Complex Manifolds" de Wells se titula "Elliptic Operator Theory" y creo que se acerca a lo que quieres. Sin duda explica por qué los operadores elípticos tienen núcleos y cokernels de dimensión finita.