Reconocer cónicas a partir de la ecuación estándar

Question

Supongamos que $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + k = 0$ es una cónica en el plano euclidiano. ¿Cómo puedo reconocer qué es?

En mi libro han demostrado la prueba del determinante de que si $B^2-4AC$ es $>0$ es una hipérbola, $=0$ es una parábola y $<0$ es una elipse.

Pero mi confusión es que no incluyen el par de rectas y el círculo (aunque es un caso especial de la elipse).

Answer 1

¿Es esto lo que quieres?

Sea $p=B^2-4AC$.

Si $p\lt 0$, elipse, círculo, punto o ninguna curva.

Si $p=0$, parábola, 2 líneas paralelas, 1 línea o ninguna curva.

Si $p\gt 0$, hipérbola o 2 líneas que se intersectan.

más información aquí con figuras.

Answer 2

$1. $ si es un círculo $$A=C$$ y $B=0$

$2.$ si es un par de líneas rectas $$B^2-4AC\ge 0$$ y $$ACK+\frac{BDE}{4}-\frac{AE^2}{4}-\frac{CD^2}{4}-\frac{KB^2}{4}=0$$