Una versión cuantitativa del lema de Hensel

Question

He estado leyendo algunos artículos sobre las funciones zeta de Igusa, y parece que utilizan implícitamente una "versión cuantitativa" del Lemma de Hensel, que también afirma el número de elevaciones de un $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ -señala un $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ -punto. Estoy buscando algo como lo siguiente:

Dejemos que $X$ sea un esquema separado irreducible suave de tipo finito de dimensión relativa $n$ sobre el anillo de $p$ -enteros radicales $\mathbb{Z}_p$ . Entonces, para cualquier $k>0$ ¿tenemos $$\# X(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}) = p^{n(k-1)}\# X(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \quad ?$$

Estoy buscando una prueba o una referencia donde pueda encontrar una prueba.

Answer 1

Déjame intentar una prueba muy explícita. Consideremos el problema de tomar una solución modulo $p^k$ y la elevación a soluciones módulo $p^{k+1}$ . Para ello, podemos suponer que $X \subset \mathbb{A}^m$ es suave y afín de dimensión $n$ , dada por los polinomios $f_1, \dotsc, f_r \in \mathbb{Z}_p[x_1, \dotsc, x_m]$ . Dejemos que $\mathbf{a} \in \mathbb{Z}_p^m$ satisfacer $f_1(\mathbf{a}) \equiv \dotsb \equiv f_r(\mathbf{a}) \equiv 0 \pmod{p^k}$ .

Para encontrar puntos módulo $p^{k+1}$ que levantan $\mathbf{a}$ , pones $\mathbf{x} = \mathbf{a} + p^k \mathbf{y}$ y buscar vectores $\mathbf{y}$ modulo $p$ dando soluciones a $f_i(\mathbf{x}) \equiv 0 \pmod{p^{k+1}}$ . La expansión de Taylor da

$(f_1(\mathbf{x}), \dotsc, f_r(\mathbf{x})) = (f_1(\mathbf{a}, \dotsc, f_r(\mathbf{a})) + p^k \mathbf{J}(\mathbf{a}) \mathbf{y} + O(p^{k+1})$

donde $\mathbf{J}$ es la matriz jacobiana $(\partial(f_i)/\partial x_j)$ . Dividiendo por $p^k$ y reduciendo el módulo $p$ da una ecuación lineal no homogénea sobre $\mathbf{F}_p$ :

$\mathbf{J}(\mathbf{a}) \mathbf{y} \equiv -p^{-k} (f_1(\mathbf{a}, \dotsc, f_r(\mathbf{a})) \pmod{p}$ .

Que $X$ es suave sobre $\mathbb{Z}_p$ en $\mathbf{a}$ implica que $\mathbf{J}(\mathbf{a})$ cuando se reduce el módulo $p$ tiene rango $m-n$ . El espacio de soluciones $\mathbf{y}$ es no vacía, por el lema de Hensel, por lo que es un espacio lineal de dimensión $n$ en $\mathbb{F}_p$ . De esta manera se ve que toda solución modulo $p^k$ ascensores para precisamente $p^n$ soluciones modulo $p^{k+1}$ y obtienes tu fórmula por inducción.