Definir una relación $∼$ en $Z$ por $a ∼ b$ si y sólo si $a − b$ está en paz. Demuestre que es reflexivo, simétrico y transitivo.

Question

Definir una relación $$ on $ Z $ by $ a b $ if and only if $ a b$ es par. Demuestre que es reflexivo, simétrico y transitivo.

a) Reflexivo: $a \sim a$ se mantiene porque $a-a = 0$ y $0$ es un número par, por lo que $\sim$ es reflexivo.

b) Simétrico: Tenemos que demostrar si $a \sim b$ entonces $b \sim a$ . Si $a,b$ $Z$ entonces $a \sim b$ entonces $a-b = 2n$ , de lo que obtenemos $a= 2n + b$ . Para mostrar $b \sim a : b-a = b - (2n +b) = -2n$ . Así que $b-a$ es un número par, por lo que $b\sim a$ se mantiene, por lo que $\sim$ es simétrica.

c) Transitivo: Tenemos que demostrar si $a \sim b$ y $b \sim c$ entonces $a \sim c$ . Para $a \sim b: a-b = 2n$ entonces $b = a-2n$ . Para $b \sim c: b-c = a-2n -c = 2n$ El $2n$ se cancelan, por lo que obtenemos $a-c = 0$ Así que $a=c$ y por lo tanto para $a \sim c a=c$ por lo que es sólo $a-a = 0$ lo cual es parejo, por lo tanto $a \sim c$ se mantiene y podemos decir $\sim$ es transitivo.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Hay un pequeño problema en la prueba de transitividad. Usted sabe que $a\sim b$ . Por lo tanto, hay un $n$ tal que $a-b=2n$ . Y, usted sabe que $b\sim c$ . Por lo tanto, hay un $m$ tal que $b-c=2m$ . SIN EMBARGO, usted en su prueba, asume que $m=n$ y no se le permite hacer esto. Para completar la prueba, ahora debes hacer algo como:

$b=2n-a$ y $b=2m-c$ Por lo tanto, $2n-a=2m-c$ y, por lo tanto, $a-c=2n-2m=2(n-m)$ .