Segunda ley de la termodinámica de los agujeros negros

Question

He estado buscando una prueba satisfactoria de esto, y no la encuentro. He leído la breve demostración del teorema del área de los agujeros negros en Wald, que es similar, pero no llega a la afirmación real $\frac{dA}{dt} \geq 0$ . Me había imaginado algo bastante sucinto relacionando $T_{ab}k^ak^b \geq 0$ (condición de energía débil) directamente a $\frac{dA}{dt}$ Y lo he intentado pero no he conseguido que nada funcione del todo. De todos modos, ¿alguien puede indicarme una buena fuente, o incluso simplemente dar la prueba?

Answer 1

La prueba es muy sencilla, Hawking la vio en un instante. Mientras escribía esto, encontré la prueba presentada en la página de Wikipedia para la ecuación de Raychoudhuri. Para entenderla, hay tres resultados de fondo con los que hay que sentirse cómodo.

La zona del horizonte tiene sentido físico

Dados tres rayos de luz casi paralelos e infinitesimalmente separados en el espacio de Minkowski que se mueven en la dirección perpendicular a su plano de separación, se puede definir el área que abarcan cortándolos con un plano espacio-temporal, y preguntando cuál es el área contenida en el triángulo que forman. A diferencia de lo que ocurre en la geometría euclidiana, donde esto nunca es cierto para cualquier área, en la geometría de Minkowski el área de este triángulo no depende de la orientación del plano. En otras palabras, puedes deslizar cada uno de los tres puntos de intersección hacia arriba y hacia abajo en el rayo de luz sin cambiar el área del triángulo.

Para ver esto, primero hay que tener en cuenta que si se tienen dos rayos de luz paralelos l,l' cuya separación es perpendicular a su línea de movimiento, y se tiene una línea entre dos puntos de l y l' respectivamente, la longitud de esta línea no depende de los dos puntos que conecta. La longitud s en el espacio de Minkowski se define por

$s^2= A\cdot A$

y si se añade un vector nulo N a A, el resultado no cambia porque $A\cdot N$ y $N \cdot N$ son ambos cero. Esto implica que si tienes tres rayos de luz que se mueven en la misma dirección y están separados perpendicularmente a la dirección del movimiento, conectas tres puntos cualesquiera de estos rayos y las tres longitudes laterales del triángulo resultante son las mismas. La congruencia lado-lado-lado también es cierta en el espacio de Minkowski (cuando las longitudes laterales son distintas de cero).

Por lo tanto, el área de un agujero negro está bien definida: si se corta la superficie en triángulos infinitesimales que están cerca de alguna superficie similar al espacio que corta el horizonte, no importa la orientación que tengan estos triángulos con los rayos de luz, se obtiene la misma respuesta. Este es un punto importante que no se explica bien en los tratamientos habituales.

Ecuación de desviación

Si dos geodésicas paralelas se mueven a lo largo de una dirección compartida con una separación $\Delta$ se puede pensar que su dinámica relativa está determinada por una ley de Newton. Parametrizando el espacio-tiempo en una vecindad de uno de ellos con coordenadas locales, la desviación del otro se determina expandiendo la fórmula de la longitud de arco a segundo orden. El resultado es un movimiento con una fuerza lineal de restauración/expulsión.

La constante de resorte de la fuerza de restauración/expulsión es una de las propiedades equivalentes que definen la curvatura de Riemann:

$ {d^2 \Delta^\mu\over d\tau^2} = R^\mu_{\nu\sigma\lambda} \Delta^\nu \dot{x}^\sigma\dot{x}^\lambda$

Consideremos un simplex formado por puntos cercanos, situados en un determinado plano espacial infinitesimal, y pongamos estos puntos en movimiento a lo largo de la dirección temporal perpendicular al plano. La velocidad a la que aumenta el logaritmo de su volumen en función de su tiempo propio compartido s se denomina expansión $\theta$ . La derivada de $\theta$ es interesante porque toma la traza de Ricci del tensor de Riemann cuando se evalúa en términos de la desviación geodésica anterior:

${d\theta \over ds} = - {1\over 2}\theta^2 - \sigma^2 - R_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x^\nu}$

Dónde $\sigma$ no es importante porque siempre hace una contribución negativa. Esta es la ecuación de Raychoudhuri (para vorticidad evanescente - la vorticidad desaparece para estas geodésicas paralelas infinitesimalmente separadas para todos los tiempos, porque las fuerzas de curvatura son resortes de Hooke, dirigidos hacia adentro y hacia afuera). Para las trayectorias nulas, el volumen se convierte en un área (dos de las direcciones perpendiculares del simplex se vuelven paralelas), y el tiempo propio se convierte en el parámetro afín.

Tenga en cuenta que en un vector nulo como $\dot{x}$ , $T_{\mu\nu}$ es igual a $R_{\mu\nu}$ por lo que si se cumple la condición de energía débil, esta cantidad es siempre positiva. Esto nos dice que una vez que la divergencia es negativa, debe caer a menos infinito en un tiempo propio finito. Si el área de un pequeño triángulo de rayos de luz paralelos está disminuyendo a lo largo de su parámetro afín en cualquier instante, si se cumple la condición de energía débil, entonces esta área se estrellará hasta el área cero después de un parámetro afín finito. Esto significa que algunas dos geodésicas vecinas en la congruencia han chocado, o se han "centrado".

Teorema de la focalización

Cuando dos geodésicas cercanas chocan, no pueden ser caminos "más cortos" entre sus puntos finales, por una sencilla razón: en primer lugar, las desviaciones entre ellas son siempre de primer orden infinitesimal, por lo que tienen la misma arclitud (esta es la misma razón por la que las partículas que se mueven lentamente una respecto a la otra coinciden en su tiempo newtoniano compartido, y esta noción se extiende al parámetro afín por límites). Si las geodésicas 1 y 2 comenzaron en el punto P, se volvieron paralelas durante un tiempo, y luego se intersectaron, se puede seguir la 1 desde P hasta el punto de intersección, y luego seguir la 2 hasta el final, y esto tiene la misma longitud que seguir la 2 todo el camino desde P hasta el final. Pero el primer camino dobla una esquina. Si la luz dobla una esquina, es posible alcanzarla con un camino similar al del tiempo, así que pasado el punto de intersección, una partícula masiva podría haber tomado el camino desde P hasta la extensión.

Esto es válido tanto para dos geodésicas que parten de una dirección perpendicular a un determinado plano espacial como para las que parten de un punto común, sustituyendo "distancia al punto" por "distancia al plano".

El teorema del área

El horizonte de sucesos de un agujero negro se define como aquellas trayectorias de luz que apenas no escapan. Si los rayos de luz son empujados sólo un poco hacia fuera, entonces escapan al infinito, y si son empujados sólo un poco hacia dentro, entonces son absorbidos por el agujero negro. Esto significa que cualquier objeto masivo que choque con estos rayos de luz nunca podrá alcanzarlos, sino que deberá caer en el agujero negro.

La idea de Hawking fue que si el área está disminuyendo en cualquier momento en cualquier pequeño triángulo en este horizonte, debe caer a cero en un parámetro afín finito. Esto significa que dos geodésicas nulas cercanas en la extensión de este simplex hacia adelante en el parámetro afín se centrarán. Pero esto significa que su extensión puede estar unida al simplex original por un camino similar al del tiempo, por lo que su extensión debe estar dentro del agujero negro, lo que significa que no podría estar en el límite.