Prueba del teorema de Lagrange

Question

He leído las respuestas a estas preguntas:

Prueba del teorema de Lagrange - El orden de un subgrupo divide el orden del grupo

Teorema de Lagrange

¿Cómo sé que los cosets de H tienen el mismo número de elementos? (Que las clases de equivalencia forman una partición de G.)

Answer 1

Consideremos una función definida por $f:H\to Ha$ por $f(x)=xa.$ Entonces se puede comprobar fácilmente que $f$ es biyección, es decir, $H$ y $Ha $ tiene la misma cardinalidad.

Answer 2

Una pista:

Considere el mapa $H\to gH$ dado por $h\mapsto gh$ . Demuestra que es biyectiva.

Answer 3

Dejemos que $a$ y $b$ sean dos elementos cualesquiera, $H$ un subgrupo finito. Consideremos $aH$ y $bH$ . Si $|aH|\neq|bH|$ entonces debe haber dos elementos en $H$ , digamos que $f$ y $g$ de manera que $af=ah$ o $bf=bh$ . Supongamos que WLOG $af=ah$ . Entonces $f=h$ una contradicción. Por lo tanto, todas las costas tienen el mismo tamaño.