Yo he revisado mi respuesta, como me sentí el original hizo un flaco favor a la OP y el lector
por restar importancia a la dificultad de la pregunta. Es un problema agradable!
El OP es correcto que un no-atómica probabilidad de que el espacio es maravillosamente flexible,
y se puede dividir en piezas con determinadas probabilidades. El hecho crucial de
necesario es que siempre podemos dividir un espacio tan exactamente en dos.
Es decir, existe $B\in{\cal F}$, de modo que $\mu(B)=1/2$. Búsqueda de $B$ no es
trivial, pero no es terriblemente difícil. Es asignado a menudo como un ejercicio de una teoría de la medida de la clase.
Un argumento usando el Lema de Zorn se puede encontrar en la Wikipedia.
También, es el Ejercicio 2.17 (página 31) en Probabilidad y Medida (2ª edición)por
Patrick Billingsley, y Corolario 1.12.10 (página 56) en el Volumen 1 de Bogachev, la Teoría de la Medida.
Una vez que tenemos este resultado, podemos crear un uniforme de$(0,1)$ variable aleatoria en nuestro espacio
de la siguiente manera. Comience con un conjunto $B(1/2)\in{\cal F}$$\mu(B(1/2))=1/2$.
La división de $B(1/2)$ y su complemento exactamente en dos, se obtiene una partición de cuatro conjuntos cada uno con
$\mu$ medida de $1/4$.
Por inducción, puede crear una colección de $B(q)$ indexados por el diádica racionales $q$, de modo que $q\leq r$
implica $B(q)\subseteq B(r)$$\mu(B(q))=q$.
Ahora defina $U(\omega)=\inf (q : \omega\in B(q))$. La variable aleatoria $U$ tiene un uniforme de$(0,1)$
distribución, es decir, $U$ es un medibles mapa de espacio de Lebesgue $(\Omega,{\cal F},\mu) \to ((0,1),{\cal B},\lambda)$.
Cualquier división (o representación) en $(0,1)$ ahora puede ser llevada a $\Omega$ través $U$.
Una consecuencia de ello es que el $(\Omega,{\cal F},\mu)$ puede servir como el "común de probabilidad espacio"
para Skorokhod del teorema de representación. En particular, para cualquier probabilidad de medida $\nu$
en $\mathbb{R}$, existe una variable aleatoria $Y:\Omega\to\mathbb{R}$
de modo que la ley de $Y$$\nu$. La elección de $\nu$ a ser un
discretos medida demuestra que se puede dividir la $\Omega$ a de un número finito de
o contables de la colección de $B_i$ de los conjuntos medibles con $\mu(B_i)=p_i$ para cualquier
$\sum_i\ p_i=1$ $p_i\geq 0$ .
Mi respuesta (y los comentarios) aquí la Construcción de "patológico" medidas también pueden ayudar.
Por supuesto, usted realmente no necesita toda la potencia de Skorokhod del resultado.
Pero vale la pena recordar que cualquier no-atómica probabilidad de que el espacio es "universal" en este sentido.
No puedo resistir la tentación de tomar nota también de que la representación se extiende a la polaca espacios.
Para cualquier probabilidad de medida $\nu$ en un espacio polaco $(S,{\cal B}(S))$, existe un
variable aleatoria $Y:\Omega\to S$ en su no-atómica espacio para que la ley de $Y$$\nu$.
Finalmente, acerca de la pregunta 2?
O tenemos el caso trivial $\int_\Omega f(x) \mu(dx)=0$, o
$$\mu_f(B)={\int_B f(x) \mu(dx)\over \int_\Omega f(x) \mu(dx)}$$ define un nuevo no-atómica
probabilidad de medida que puede split $\Omega$ exactamente en la mitad.
