Calcular una matriz ortogonal que mapea una matriz $X$ a $Y$

Question

Aquí $X,Y \in {\mathbb{R}^{n \times m}}$ y queremos encontrar una matriz ortogonal $A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}$ tal que $AX=Y$ . Puede haber múltiples soluciones, y cualquiera de ellas estará bien. También es posible que no haya soluciones. ¿Hay algún método general para resolver esta cuestión?

Answer 1

Desde $A$ es una matriz ortogonal que preserva los productos internos. Así que creo que una condición necesaria y suficiente para al menos una solución es que el producto interior de cada par de columnas en $X$ (considerados como vectores) es el mismo que el producto interior del correspondiente par de columnas en $Y$ .

Si las columnas de $X$ (considerados como vectores) no abarcan $\mathbb{R}^n$ entonces puede haber más de una solución. Por ejemplo, si

$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

entonces hay dos soluciones (una rotación y una reflexión):

$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

y

$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$