para $A$ $n\times n$ matriz real. $B=A^t A$

Question

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz con entradas reales. Sea $B=A^t A $ (donde $A^t$ denota la transposición de $A$ ), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

1. Si $B$ es invertible entonces $A$ es invertible

2. Si $k$ es el valor propio de $B$ entonces $k\ge 0$

3. Si $k$ es el valor propio de $A$ entonces $k^2$ es el valor propio de $B$

4. Dejemos que $C=I + B$ entonces $C$ es invertible.

Mi intento: Creo que $B$ es una matriz simétrica real. Y como el determinante de $B$ es el cuadrado de $\det(A)$ por lo que la opción 1 es correcta. Necesito sugerencias para ver otras opciones. Gracias. Las opciones correctas son 1,2,4.

Answer 1

Respuesta/sugerencia

Tienes razón por 1. ya que

$$\det(B)=\det(A^t)\det(A)=(\det(A))^2$$ Para 2. dejar $x$ un vector propio para $B$ asociado a $k$ entonces $$k||x||^2=\langle A^tAx,x\rangle=||Ax||^2\implies k\ge0$$

Para 3. Tome $A$ una matriz ortogonal que es $A^tA=I$ para obtener un contraejemplo.

Demuestra el resultado de 4. utilizando 2. y el hecho de que toda matriz real simétrica es diagonalizable.