Demostrar que $ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n+6}{n^2-6} = 0 $ .

Question

Mi intento:

Demostramos que $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty } \dfrac{n+6}{n^2-6} =0$ .

Basta con demostrar que para cualquier $ \epsilon \in\textbf{R}^+ $ existe un $ K \in \textbf{R}$ tal que para cualquier $ n > K $

$ \displaystyle \left| \frac{n+6}{n^2-6} - 0 \right| < \epsilon $ .

Supongamos que $ n>4 $ . Entonces $ n+6 < 7n $ y $ n^2 -6 > \frac{1}{2} n^2 $ . Así que

$ \displaystyle \left| \frac{n+6}{n^2-6} - 0 \right| = \frac{n+6}{n^2-6 } < \frac{7n}{\frac{1}{2}n^2} = \frac{14}{n} $ .

Considere $ K = \max\{4,\displaystyle \frac{14}{\epsilon}\} $ y supongamos $ n> K $ . Entonces $ n > \displaystyle \frac{14}{\epsilon} $ . Esto implica que $ \epsilon > \displaystyle \frac{14}{n} $ . Por lo tanto,

$ \displaystyle \left| \frac{n+6}{n^2-6} - 0 \right| = \frac{n+6}{n^2-6 } < \frac{7n}{\frac{1}{2}n^2} = \frac{14}{n} < \epsilon $ .

Así, $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty } \displaystyle \frac{n+6}{n^2-6}=0 $ .

¿Esta prueba es correcta? ¿Cuáles son otras formas de demostrarlo? Gracias.

Answer 1

Personalmente (suponiendo que no tuviera que usar herramientas más afiladas), lo abordaría observando primero que la fracción debería ser de aproximadamente $1/n$ cuando $n$ es muy grande. Así que saca un factor $1/n$ y simplificar el resto, y se obtiene $$\frac{n+6}{n^2-6}=\frac1n\cdot\frac{1+6/n}{1-6/n^2}.$$ Ahora sólo hay que encontrar un buen límite para el fractón de la derecha, cuando $n$ es grande. Para simplificar la vida, podría requerir $n\ge6$ , lo que implica $1+6/n\le2$ y $1-6/n^2\ge5/6$ para que $$\frac{n+6}{n^2-6}\le\frac{12}5\frac1n\qquad\text{for $ n\ge6 $}.$$ El resto es ahora trivial.

Answer 2

Basta con utilizar el hecho de que $\displaystyle \frac{n+6}{n^2-6}\sim_{\infty}\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$ entonces tienes el resultado.

Answer 3

Su prueba es correcta. Sólo para ser pedante, puedes definir $K$ directamente como $14/\varepsilon$ ya que usted asumió previamente que $n>4$ .

Como ya han señalado en los comentarios, la forma real de resolver los límites sin pasar por todos esos $\delta$ - $\epsilon$ argumentos es utilizar las propiedades de los límites, como la preservación de las operaciones $+,\cdot$ (y, con un poco de atención, $\div$ ). Con estos pequeños teoremas la demostración es muy fácil: $$\{\dfrac{n+6}{n^2-6}\}_{n\to \infty}=\{\dfrac{1+6/n}{n-6/n}\}_{n\to \infty}=\dfrac{ \lim 1 + \lim 6/n}{\lim n -\lim6/n}=0$$ ya que todos los términos, excepto los de la esquina inferior izquierda, están acotados.

Answer 4

$$\frac{n+6}{n^{2}-6}=r_{n}\times\frac{1+6r_{n}}{1-6r_{n}}$$ para: $$r_{n}=\frac{1}{n}$$

Si $n\rightarrow\infty$ entonces $r_{n}\rightarrow0$ (fácil) y en consecuencia: $$\frac{n+6}{n^{2}-6}\rightarrow0\times\frac{1+0}{1-0}=0$$